SKKN Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nội dung tài liệu: SKKN Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn [0 ; 3] bằng 16. Tính tổng các phần tử của S ? A. -16 B. 16.C. -12D. . 2 * Phân tích: Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa tham số và dấu giá trị tuyệt đối trên một đoạn. * Để giải bài toán này thông thường chúng ta áp dụng các kiến thức sau đây + Định nghĩa GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]. + Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) trên đoạn [a;b] + Định nghĩa và các tính chất của GTTĐ + Đổi biến * Có 3 hướng giải quyết: Hướng 1. Đề cho max y 16 , gợi cho chúng ta nhớ đến định nghĩa về GTLN của hàm số. Như vậy, x 0;3 yêu cầu bài toán tương đương với hai điều kiện sau đồng thời xảy ra: 1 :| x3 3x m | 16x 0;3 2 : Phương trình | x3 3x m | 16 có nghiệm x 0;3. Điều kiện (1) và (2) là các bài toán quen thuộc. Điều kiện (1) cho kết quả 14 m 2 .Điều kiện (2) cho kết quả 34 m 14 S { 14; 2}. 2 m 18 Hướng 2. Tìm max y , vì việc đó sẽ giúp ta giải quyết bài toán:Tìm tât cả các giá trị thực của tham số x 0;3 thực m sao cho max y thỏa mãn điều kiện nào đó.Từ đây nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát: x 0;3 Xét hàm số f (x) x3 3x m trên đoạn [0 ; 3]. Ta có f (x) 3x2 3x [0;3]; f (x) 0 thõa mãn x [0;3] f (0) m; f (1) m 2; f (3) m 18. Từ đây ta cũng có max x [0,3] y max{| m 2 |;| m 18 |}(m 18 m m 2) Hướng 3. Thấy biến x và tham số m không dính nhau nên nghĩ đến đổi biến số Đổi biến t x3 3x, với x 0;3thì t  2;18 , xét hàm số f (t) t m với t  2;18 .Vì đồ thị của hàm số f (t) với t  2;18 là một đoạn thẳng nên max y max f (t) max f ( 2) ; f (18)  max m 2 ; m 18. x 0;3 t  2;18
2. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối m 18 Xét trường hợp 1: m 2 16 (Loại m = 18). m 14 m 2 Trường hợp 2: m 18 16 (Loại m = - 34) m 34 * Bình luận: Trên đây là các cách giải khác nhau của bài toán Ví dụ 1. Mặc dù mỗi hướng giải có những ưu điểm riêng, nhưng đối vớ học sinh có năng lực dưới mức khá sẽ gặp khó khăn trong việc phân chia các trường hợp của tham số. Tôi đã nghiên cứu và đưa ra một phương pháp giải khác, giúp học sinh giải nhanh và phù hợp với năng lực của nhiều đối tượng học sinh. Phương pháp giải: Ta có: max y max f (t) max f ( 2) ; f (18)  max m 2 ; m 18 x 0;3 t  2;18 m 2 m 18 m 2 m 18 max y max f (t) = = m 8 10 16 x 0;3 t  2;18 2 m 14 hoặc m 2 . Chọn A Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x2 2x m trên đoạn 0;3 bằng 5 .Tổng các phần tử của S bằng A. 2 . B. 2 . C. 12 . D. 8 . Lời giải +Đồ thị của hàm số y x2 2x m là Parabol có bề lõm quay lên và nhận điểm P 1;m 1 làm đỉnh.Ta có y(0) m , yP m 1, y(3) m 3.Rõ ràng với mọi giá trị của m thì m 1 m m 3 . +Vì xP 1 0;3 nên max f (x) max y(0) ; yP ; y(3)  max m 3 ; m 1 m 1 2 . 0;3 m 4 + max f (x) 5 m 1 2 5 .Vậy S 4;2.Chọn A 0;3 m 2 Ví dụ 3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 trên đoạn m;m 3bằng 16 .Tổng các phần tử của S bằng 16 14 19 20 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải
3. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối + Xét hàm số f (x) x3 3mx2 3 m2 1 x m3 , x m;m 3 .Ta có f (x) x m 3 3x ; f '(x) 3 x m 2 1 ,x m;m 3 ; f '(x) 0 x m 1; f (m) 3m ; f (m 1) 2 3m ;   f (m 3) 18 3m .Suy ra max f (x) 18 3m ; min f (x) 2 3m . m;m 3 m;m 3 18 3m 2 3m 18 3m 2 3m + max f (x) max 18 3m ; 2 3m  m;m 3 2 3m 8 10 . 14 m 3 + max y 16 3m 8 10 16 . Chọn A m;m 3 2 m 3 Nhận xét:Tìm min x3 3mx2 3 m2 1 x m3 như sau:Nếu m;m 3 2 min f (x) 0 max f (x) 2 3m 0 18 3m m 6 thì m;m 3 m;m 3 3 m 6 min x3 3mx2 3 m2 1 x m3 0 ; Nếu max f (x). min f (x) 0 2 thì m;m 3 m;m 3 m;m 3 m 3 min x3 3mx2 3 m2 1 x m3 3m 8 10 . m;m 3 Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng: A.-2 B. 7. C. 14. D. 3. Lời giải: Xét hàm số trên đoạn [-1;2] Ta có: Mà : Nên: ; +) Nếu thì không thỏa mãn bài toán +) Nếu thì:
4. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Theo bài ra (thỏa mãn) Vậy tổng các phần tử của S là 7. Nên chọn B Ví dụ 5. Cho hàm số y = x4 - 4x3 + 4x2 + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2 .Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3;3 sao cho M 2m ?     A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Lời giải + Đặt t x 4 4x3 4x 2 , với x 0;2thì t 0;1.Xét hàm số f (t) t a,t 0;1.Ta thấy f (t) là hàm tăng trên 0;1. f (1) f (0) f (1) f (0) 1 1 + M max f (t) a . 0;1 2 2 2 1 + Nếu f (0). f (1) 0 thì m 0 .Trường hợp này loại vì M a . 2 a 0 1 1 + Nếu f (0). f (1) 0 a a 1 0 thì m a . a 1 2 2 a  1;0 a 1 + M 2m 1 1 1 1 .Từ đây suy ra a 3; 2;1;2;3 . Chọn D a 2 a a 2 2 2 2 2 Ví dụ 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y x3 x2 m2 1 x 2m 4 trên đoạn 0;1 không vượt quá 32 .Số phần tử của S bằng A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Lời giải + Xét hàm số f (x) x3 x2 m2 1 x 2m 4 trên đoạn 0;1.Ta có f '(x) 3x2 2x m2 1 0,x 0;1 suy ra f (x) là hàm tăng trên 0;1. f (1) f (0) f (1) f (0) m2 1 m2 4m 7 + max y . 0;1 2 2 m2 1 m2 4m 7 + max y 32 32 7 m 5 . Chọn B 0;1 2 Ví dụ 7. Cho hàm số f (x) x3 3x m với m là tham số thực.Gọi S là tập hợp tất cả các giá của m sao cho max f (x) min f (x) 12 .Tổng các phần tử của S bằng 0;3 0;3
5. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối A. 16 . B. 16. C. 32 . D. 32 . Lời giải + Xét hàm số g(x) x3 3x m trên đoạn 0;3 .Ta có g '(x) 3x2 3x 0;3 ; g '(x) 0 x 1; g(0) m, g(1) m 2 , g(3) m 18 .Suy ra max g(x) m 18; 0;3 min g(x) m 2 .Ta có max f (x) max m 2 ; m 18. 0;3 0;3 + Nếu max g(x).min g(x) 0 m 2 m 18 0 18 m 2 thì min f (x) 0 .Vậy 0;3 0;3 0;3 m 6 max f (x) min f (x) 12 max m 2 ; m 18 12 m 8 10 12 (Thỏa mãn 0;3 0;3 m 10 18 m 2 ). m 2 + Nếu max g(x).min g(x) 0 thì m min m 18 ; m 2. 0;3 0;3 m 18 m 2 Vậy max f (x) min f (x) 12 m 2 m 18 12 m 2 m 18 12 (Không 0;3 0;3 m 14 m 2 thỏa mãn điều kiện ). m 18 + Kết luận S 10; 6 . Chọn A Chú ý:Ta tìm được m sao cho .max f (x) .min f (x)  với , , là các số thực cho 0;3 0;3 trước. x m Ví dụ 8. Cho hàm số f (x) với m là tham số thực.Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của x 1 m sao cho min f (x) max f (x) 2.Số phần tử của S là 0;1 0;1 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải +Trường hợp 1: m 1, khi đó f (x) 1, x 1.Dễ thấy min f (x) max f (x) 2.Vậy m 1 thỏa 0;1 0;1 mãn. 1 m +Trường hợp 2: m 1, khi đó f '(x) 0,x 0;1 f (x) đơn điệu trên 0;1 x 1 2 m m 1 min f (x).max f (x) f (0). f (1) và 0;1 0;1 2 m 1  max f (x) max f (0) ; f (1)  max m ; . 0;1 2 
6. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối m m 1 -Nếu min f (x).max f (x) 0 0 m  1;0 thì min f (x) 0 .Do đó: 0;1 0;1 2 0;1 m 1 m 1  min f (x) max f (x) 2 max m ;  2 (Phương trình này vô nghiệm vì m 1 do 0;1 0;1 2  1 2 m  1;0). m 0 m 1  -Nếu min f (x).max f (x) 0 thì min f (x) min f (0) ; f (1)  min m ;  .Do 0;1 0;1 m 1 0;1 2  m 1 m 1 5 vậy: min f (x) max f (x) 2 m 2 m 2 m (Chú ý m 1). 0;1 0;1 2 2 3 5  +Kết luận S ;1. Chọn B 3  3. Bài tập vận dụng Câu 1. Cho hàm số f (x) |12x3 9x2 12x m 7 |. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 sao cho với mọi số thực a, b, c 1;3 thì f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh của một tam giác? A. 8.B. 6.C. 5.D. 4. Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 0 B. 2 C. 6 D.1 Cáu 3. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y x4 38x2 120x 4m trên [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. -12.B. 12.C. -13.D. -14. Câu 4. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y x4 38x2 120x 4m trên [ 2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tham số m bằng A. 1.B. 3.C. 4.D. 5. Câu 5. Gọi S là tập hợp các giá trị của tha số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 9x m trên  2;4bằng 16. Số phần tử của S là A. 0.B. 2.C. 4D. 1. Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x2 6x 2m 1 trên [ 2;3] đạt giá trị nhỏ nhất. Số phần tử của tập S là A. 0.B. 3.C. 2D. 1. IV. KẾT LUẬN
7. Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Hiểu và vận dụng linh hoạt phương pháp trong bài toán tổng quát khi giải các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, giúp học sinh có khả năng nhìn nhận các bài toán một cách khái quát, từ đó tìm ra cách giải nhanh nhất đối với mỗi bài toán cụ thể. Thông qua biện pháp “Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” học sinh cảm thấy hứng thú với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như liên hệ được với các cách đánh giá bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, thông qua kỹ năng giải các bài toán, có thể phát triển ở học sinh các năng lực học tập, tư duy sáng tạo, kinh nghiệm và bản lĩnh giải quyết các dạng toán khó.