Báo cáo Sáng kiến Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

Nội dung tài liệu: Báo cáo Sáng kiến Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

1. 2.2.3.3. Rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn .......................26 3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ...............................................................29 3.1. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................29 3.2. Nội dung thực nghiệm ..............................................................................30 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..................................................................32 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm: ................................................33 V. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được ..............................................33 1. Hiệu quả kinh tế...........................................................................................33 2. Hiệu quả xã hội............................................................................................34 VI. Điều kiện và khả năng áp dụng .................................................................34
2. I. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình II. Đồng tác giả Tỷ lệ(%) Ngày Trình độ Số Chức đóng góp Họ và tên tháng năm Nơi công tác chuyên TT danh vào việc tạo sinh môn ra sáng kiến THCS Đinh ĐH 1 Dương Đặng Phương Hoa 27/4/1975 PHT 35% Tiên Hoàng Toán 23/05/198 THCS Đinh Giáo ĐH 2 Đặng Thị Tuyết 25% 3 Tiên Hoàng viên Toán 14/11/196 THCS Đinh Giáo ĐH 3 Mai Thị Loan 20% 1 Tiên Hoàng viên Toán 15/11/197 THCS Đinh Giáo ĐH 4 Vũ Thị Hương 20% 7 Tiên Hoàng viên Toán III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng - Tên sáng kiến: Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng. - Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho các trường THCS IV. Nội dung sáng kiến 1. Giải pháp cũ thường làm Để có được bức tranh về quá trình dạy và học toán cực trị hình học trong trường THCS chúng tôi đã tiến hành dự giờ, điều tra bằng phiếu hỏi đối với 18 giáo viên dạy Toán (10 giáo viên Toán của trường THCS Đinh Tiên Hoàng, 8 giáo viên Toán của THCS Trường Yên) và 120 học sinh lớp 7, 8, 9 của trường THCS Đinh Tiên Hoàng trong đó có 30 học sinh học trong đội tuyển Toán 7,8,9. Kết quả thu được như sau: 1.1. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp đại trà Bảng 1: Bảng thống kê mức độ dạy toán cực trị hình học trong trường THCS Nội dung Mức độ Dạy kỹ Dạy lướt qua Không dạy Dạy kiến thức lý thuyết trong bài 6 gv 10 gv 02 gv 1
3. Thường xuyên Không thường Không giao Giao bài tập về nhà xuyên 06gv 04 gv 08 gv Chữa hết Thithoảng Không Chữa bài tập về nhà chữa chữa 03gv 08 gv 07 gv Thường xuyên Ít khi Không liên Liên hệ với thực tế hệ 04 gv 08gv 06 gv Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát Thường xuyên Không thường Không thực triển bài toán xuyên hiện 03 gv 05 gv 10 gv Bảng 2: Bảng thống kê mức độ học tập toán cực trị hình học của học sinh đại trà Nội dung Mức độ Tích cực Không tích cực Không học Việc học lý thuyết 70 hs 30 hs 20 hs Làm hết Làm ít Không làm Làm bài tập về nhà 10 hs 72 hs 38 hs Thường Ít khi Không Phát triển bài toán xuyên bao giờ 01 hs 05 hs 114 hs Thường Ít khi Không liên Mạnh dạn trao đổi với thày cô xuyên hệ 01 hs 05 hs 114 hs 2
4. Qua số liệu ở bảng 1 và bảng 2 chúng tôi thấy việc dạy toán cực trị trong trường THCS chưa được quan tâm đúng mức. Đối với các lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng ở mức giới thiệu hoặc giao cho học sinh về nhà đọc. Việc chữa bài còn rất ít thậm trí có giáo viên không giao bài và không chữa bài tập phần này. Một số giáo viên chỉ dừng lại ở việc chữa bài hoặc hướng dẫn cho học sinh khá giỏi về nhà làm chứ chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển bài toán . Đặc biệt trong các bài kiểm tra định kỳ rất ít khi có nội dung cực trị hình học. Đối với học sinh đa số học sinh không thích học và sợ học toán cực trị. Nhiều em không học và không làm bài tập giao về nhà. Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày cô và tìm tòi, đề xuất bài toán mới còn rất ít, hầu như không có. 1.2. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Nội dung Mức độ Có hệ Nhắc lại Không thống lại trong quá dạy Hệ thống nội dung kiến thức lý thuyết trình chữa sử dụng bài 7 gv 5 gv 6 gv Sử dụng không Chỉ chữa nhiều thường bài Dạy bài tập phương xuyên pháp 7 gv 3 gv 8 gv Thường Ít khi Không Liên hệ với thực tế xuyên liên hệ 8 gv 6 gv 4 gv Thường Không Không Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát xuyên thường thực hiện triển bài toán xuyên 5 gv 5 gv 8 gv 3
5. Bảng 4: Điều tra ý thức học tập của học sinh giỏi khi học về toán cực trị hình học Nội dung Mức độ Nắm vững Chưa vững Không Nắm kiến thức lý thuyết nhớ 20 hs 6 hs 4 hs Làm hết Làm ít Không Làm bài tập về nhà làm 10 hs 12 hs 8 hs Thường Ít khi Không Phát triển bài toán xuyên bao giờ 4 hs 15 hs 11 hs Thường Ít khi Không Mạnh dạn trao đổi với thày cô xuyên liên hệ 8 hs 12 hs 10 hs Từ kết quả của bảng 3 chúng tôi thấy việc dạy chuyên đề toán cực trị hình học cho học sinh giỏi vẫn chưa thực sự có hiệu quả. Số lượng giáo viên dạy bài bản, quan tâm đến việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn rất ít. Nhiều giáo viên không dạy phần này. Đối với học sinh giỏi, số lượng các em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa nhiều, nhiều em chỉ làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác. Còn một bộ phận không nhỏ các em không làm bài. 4
6. 1.3. Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị Số tiết Lớp Tên bài dạy Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, 02 7 giữa đường xiên và hình chiếu Bất đẳng thức tam giác 02 8 Đối xứng tâm, đối xứng trục 02 Quan hệ giữa đường kính và dây cung 02 9 Liên hệ giữa cung và dây, liên hệ giữa dây và 02 hoảng cách từ tâm đến dây Như vậy, qua khảo sát chúng tôi nhận thấy: - Do số tiết học ở trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi. - Trong chương trình toán THCS, số lượng các dạng toán về phần cực trị hình học còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham khảo, hơn nữa các bài toán về phần cực trị hình học là một chủ đề toán khó thường chỉ hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Do đó học sinh và giáo viên cũng ít được tiếp cận với dạng toán này và có thể nói một thực tế giáo viên còn thờ ơ trong việc thực hiện dạy học chủ đề đó. Điều này dẫn đến việc giải các bài tập cực trị hình học học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của học sinh, từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt. Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh khá và giỏi chưa được tiến hành một cách thường xuyên ngay từ đầu. Chính vì vậy quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề cực trị hình học cho HS chưa được liên mạch và chưa có hệ thống, chỉ khi nào có những kỳ thi như thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi thì giáo viên và học sinh mới thực sự nhảy vào cuộc. Chính điều đó làm cho HS dễ hụt hẫng về kiến thức, sự khai thác một bài toán còn gặp 5
7. nhiều khó khăn, việc dạy học của giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm của bản thân. Hơn nữa, hệ thống bài tập trong sách tham khảo là rất đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong từng chủ đề, đặc biệt trên thị trường tìm được một vài cuốn sách tham khảo viết dành riêng cho phần cực trị hình học thể hiện được sự chuyên môn hoá là rất hiếm, điều này cũng dẫn đến một tình trạng là GV và HS thiếu một hệ thống tài liệu tham khảo để phục vụ cho công tác dạy và học. Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là GV với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng. Rõ ràng với cách dạy như vậy GV cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi cái mới. 2. Giải pháp mới thực hiện 2.1. Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học 2.1.1. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng. - Đường vuông góc là đường ngắn nhất. - Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, hình chiếu nào lớn hơn thì có đường xiên lớn hơn. 2.1.2. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc các điểm. - Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại. - Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. - Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 , An Ta có: A1 An A 1 A2 + A2 A3 + + An-1 An, dấu “=” xảy ra A 1, A2 An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. 2.1.3. Bất đẳng thức trong đường tròn - Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. - Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại. 6
8. - Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. - Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn. 2.1.4. Bất đẳng thức đại số - Giả sử ta có a với a > 0, nếu a không đổi, a đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt giá b b trị nhỏ nhất, a đạt giá trị nhỏ nhất nếu b đạt giá trị lớn nhất. b - Nếu x + y là hằng số thì tích x. y lớn nhất x = y. x . y là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất x = y. - Bất đẳng thức Cauchy: cho 2 số a, b không âm ta có: a b ab . Dấu “=” xảy ra a = b 2 Tổng quát: cho n số không âm a1, a2 an ta có: a a ... a 1 2 n n a .a ...a . Dấu “=” xảy ra a = a = = a n 1 2 n 1 2 n - Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có: (ax + by)2 (a2 + b2) . (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra ay = bx 2.1.5. Hệ thức lượng trong tam giác - Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông: Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề hoặc bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cotg góc kề. - Định ký Pitago: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. 2.2. Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho hs bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học 2.2.1. Biện pháp 1: Xác định các hướng tiếp cận khác nhau để giải bài toán cực trị hình học Hướng 1 Ta vẽ một hình có chứa các đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng bằng các đại lượng tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, nhưng đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, 7
9. nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị). Thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán” Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích tam giác nào có chu vi nhỏ nhất ? B’ Lời giải (Hình 1) • Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và d A’ A • • có cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao tương ứng với đáy BC. Ta có: B• C S = 1 AH . BC AH = 2S = 2S (không Hình 1 2 BC a đổi) Suy ra: A di động trên đường thẳng d //BC và cách BC một khoảng bằng 2S a Ta cần xác định vị trí của A trên đường thẳng d để chu vi ABC có giá trị nhỏ nhất. Chu vi ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a. Vì a không đổi nên chu vi ABC nhỏ nhất AB + AC nhỏ nhất. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, B’C cắt d tại A’. Xét AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1) Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có: AB + AC ≥ A’B + A’C (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B ’, A, C thẳng hàng. Khi đó A  A’. Vì A’B = A’B’ = A’C nên A’BC cân tại A’. Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất. Nhận xét: Khi giải bài toán đã cho ta đã thay các điều kiện của bài toán bằng các điều kiện tương đương và tìm được tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán. 8
10. Hướng 2 Ta đưa ra một hình vẽ (theo yêu cầu của đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa các yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa. Thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài. Ví dụ 2: Chứng mình rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất? Phân tích bài toán: Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình phải chứng minh là một tam giác cân, nên đưa ra một tam giác cân A’BC (Hình 1) rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng d // BC, ta chỉ việc chứng minh: Chu vi ABC ≥ chu vi A’BC tức là AB + AC ≥ A’B + A’C. Hướng 3 Thay việc tìm cực đại của một đại lượng hình học này bằng việc tìm cực tiểu của một đại lượng khác và ngược lại. Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Lời giải (Hình 2) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp, S là diện tích ABC.Ta có: 1 1 1 r S = SAIB + SBIC + SCIA = cr + ar + br = (a + b + c) 2 2 2 2 r = 2S . Vì S không đổi, ta suy ra r lớn nhất a + b + c (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết quả ở ví dụ 2, đó là tam giác cân. 9
11. Nhận xét: Để chứng minh bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác cân là lớn nhất, ta đưa về việc đi chứng minh chu vi của tam giác đó là nhỏ nhất (ví dụ 2) bằng cách biểu thị bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích và chu vi của nó. Hướng 4 Trong các bài toán cực trị, thường có các điểm di chuyển trên các hình nhất định các hình đó có khi được cho ngay trong đề bài, có khi được tìm ra bởi một bài toán quỹ tích. Đó chính là: Vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị. Ví dụ 4: Cho các tam giác ABC có BC = a, = . Tam giác nào có diện tích lớn nhất? Lời giải (Hình 3) Xét các tam giác ABC có BC = a, = . Khi ’ A A đó A nằm trên cung chứa góc dựng trên cạnh BC của tam giác ABC. Gọi A’ là điểm chính giữa của a cung chứa góc nói trên. Kẻ AH  BC, A ’H’  BC. • o ’ ’ S B C Hiển nhiên AH A H . Do đó SABC A'BC . Vậy H H’ trong các tam giác nói trên tam giác cân có diện tích lớn nhất. Hình 3 Hướng 5 Trong các bài toán cực trị hình học giải bằng phương pháp đại số, ta thường chọn một đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác của một góc...), cũng có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời chú ý đến các đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý. Tiếp cận theo hướng này ta gọi là: Chọn biến để giải các bài toán cực trị hình học. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M BC, N AC, P, Q BC. Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất? Lời giải (Hình 4) A Đặt MQ = x, MN = y M h-x N Ta có: SAMN + SBMNC = SABC y y (h x) x (a y) 1 x Suy ra: a.h 2 2 2 B Q H P C Hình 4 10