Báo cáo Biện pháp Ứng dụng phương pháp ghép bảng biến thiên vào giải các bài toán liên quan đến hàm hợp trong công tác ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia

Nội dung tài liệu: Báo cáo Biện pháp Ứng dụng phương pháp ghép bảng biến thiên vào giải các bài toán liên quan đến hàm hợp trong công tác ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia

1. Bước 4: Tính các giá trị u i u xi với i 1, 2,..., n . Trên mỗi khoảng ui ,ui 1 , i 1, 2,..., n bổ sung các giá trị u j sao cho f u j 0 , f u j không xác định và f u j không xác định. Bước 5: Tìm các giá trị x j để u xj u j (có thể bỏ qua nếu không cần giá trị cụ thể của x ) . Bước 6: Lập bảng biến thiên thể hiện sự tương quan giữa x , u và f u . Chiều biến thiên của hàm số g x f u x dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x và f u đóng vai trò của f x . Phương pháp này được gọi là phương pháp ghép bảng biến thiên (còn gọi là phương pháp ghép trục). Từ các bước của phương pháp ta dễ dàng nhận thấy các điểm xi và x j tìm được chính là nghiệm của phương trình g x 0 . Chiều biến thiên của hàm g x cũng chính là chiều biến thiên của hàm f u . Do đó phương pháp trên cho ta một phương pháp phù hợp, tính toán đơn giản không quá rườm rà để lập được bảng biến thiên của hàm hợp. Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có thể hoàn toàn giải quyết được các yêu cầu đặt ra trong bài toán như tìm khoảng đồng biến, nghịch biến; tìm cực trị của hàm số và tìm số nghiệm của các phương trình liên quan đến hàm hợp. 2.1. Xét tính đơn điệu của hàm hợp Câu 1. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số y f x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3
2. A. ; 2 . B. 0; 2 . C. 2 ;0 . D. 0; . Lời giải Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Ta có: y 2x. f x2 . x 0 x 0 f x2 0 x2 0 x 2 Khi đó y 0 x. f x2 0 x2 2 x 0 x 0. 2 x 0 f x 2 0 2 0 x 2 Vậy hàm số y f x2 đồng biến trên các khoảng 2 ;0 và 2; . Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên Đặt u x2 u 2x 0 x 0 . 2 x 0 x 0 Ta có: x2 2 x 2. Bảng biến thiên Vậy hàm số y f x2 đồng biến trên các khoảng 2 ;0 và 2; . Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số g x f x2 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 1 1 A. ; 2 . B. 2; 1 . C. ; . D. ; . 2 2 2 4
3. Lời giải Chọn B Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Ta có: g x 2x 2 . f x2 2x . x 1 x 1 2x 2 0 x2 2x 2 x 1 2 g x 0 Khi đó: 2 x 1 2 f x2 2x 0 x 2x 1 x 1 x2 2x 3 x 3. Ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số g x f x2 2x nghịch biến trên các khoảng 3;1 hoặc 1; . Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên Đặt u x2 2x u 2x 2 0 x 1. x 1 x2 2x 2 2 x 1 2 2 Ta có x 2x 1 x 1 x2 2x 3 x 3. Bảng biến thiên Vậy hàm số g x f x2 2x nghịch biến trên các khoảng 3;1 hoặc 1; . 5
4. Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau: Hàm số y f x2 2x 3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 2; . B. ;2 . C. 1; 2 . D. ;0 . Lời giải Chọn A Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Ta có: g x 2x 2 f x2 2x 3 x 1 2x 2 0 2 x2 2x 3 3 2 f x 2x 3 0 g x 0 x 1 2x 2 0 x2 2x 3 2 f x2 2x 3 0 2 x 2x 3 3 x 1 0 x 2 x 1 0 x 1 x 2. x 0 x 2 Vậy hàm số y f x2 2x 3 nghịch biến trên các khoảng 0;1 và 2; . Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên Bảng biến thiên của hàm số f x Đặt u x2 2x 3 u 2x 2 0 x 1. 6
5. x2 2x 3 0 VN x 1 Ta có: x2 2x 3 2 x 0 2 x 2. x 2x 3 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số y f x2 2x 3 nghịch biến trên các khoảng 0;1 và 2; . Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x2 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. ; 3 , 0; 3 . B. ; 3 , 3; . C. 3;0 , 3; . D. ; 3 , 0; . Lời giải Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống x Xét hàm số y f x2 1 y f x2 1 . x2 1 x 0 1 x 0 x2 1 x 0 y 0 x2 1 0 x2 1 1 2 f x 1 0 2 2 x 1 1 x 1 2 2 x 1 2 7
6. x 0 x 0 x2 1 1 x 3 2 x 1 4 x 3. Bảng biến thiên Vậy hàm số y f x2 1 đồng biến trên các khoảng 3;0 , 3; . Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên x Đặt u x2 1 u 0 x 0 . x2 1 Ta có: x2 1 1 vô nghiệm; x2 1 0 vô nghiệm; x2 1 1 x 0 ; x2 1 2 x 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số y f x2 1 đồng biến trên các khoảng 3;0 , 3; . 2.2 Tìm cực trị của hàm hợp Câu 1. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây 2 Số điểm cực trị của hàm số g x f ex 3 là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . 8
7. Lời giải Chọn D Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại mọi điểm x . x a ;0 Theo đồ thị hàm số ta có được f x 0 x b 0; 4 x c 4; . 2 2 Mặt khác g x 2x.ex . f ex 3 . x 2 0 x 0 ex 3 a ;0 2 2 x g x 0 2x.e x 3 0 2 2 f e x x f e 3 0 e 3 b 0; 4 2 ex 3 c 4; . 2 Xét hàm số h x ex 3. 2 Ta có h x 2xex ; h x 0 x 0 . Bảng biến thiên của hàm số y h x 2 2 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình ex 3 a , ex 3 b vô nghiệm; còn hai đồ thị hàm số y h x và y c cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 2 khác 0 do đó phương trình e x 3 c có hai nghiệm phân biệt khác 0 . 2 Vậy hàm số g x f ex 3 có ba điểm cực trị. Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên 2 2 Đặt u e x 3 u 2x.ex 0 x 0 Bảng biến thiên 9
8. 2 Vậy hàm số g x f ex 3 có ba điểm cực trị. Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu f x như sau Hỏi hàm số y f x2 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . Lời giải Chọn A Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Ta có y x2 2x f x2 2x 2x 2 f x2 2x . x 1 2x 2 0 x 1 2 2x 2 0 x2 2x 2 Khi đó y 0 2 x 1 2 f x2 2x 0 x 2x 1 x 3 x2 2x 3 x 1. x 2 f x 0 Từ bảng xét dấu ta thấy x 3. 1 2 x 1 2 x2 2x 2 Khi đó f x 2 2x 0 x 1 2 x 2x 3 x 3. Bảng biến thiên Vậy hàm số y f x2 2x có hai điểm cực tiểu. 10
9. Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên Đặt u x2 2x u 2x 2 0 x 1 Bảng biến thiên Vậy hàm số y f x2 2x có hai điểm cực tiểu. Câu 3. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x 1 là A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 11. Lời giải Chọn D Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm liên tục và có đạo hàm xác định x . x x1 0;1 Theo đồ thị hàm số ta có được f ' x 0 x 1 x x 1;3 . 2 Mặt khác g ' x 3x2 3 f ' x3 3x 1 g ' x 3x2 3 f ' x3 3x 1 0 x 1 x 1 3x2 3 0 3 x 3x 1 x1 f ' x3 3x 1 0 x3 3x 1 1 x3 3x 1 x . 2 Xét hàm số h x x3 3x 1 trên . 11
10. x 1 h ' x 3x2 3, h ' x 0 Ta có x 1. Từ bảng biến thiên của hàm số h x x3 3x 1 ta có h x x 0;1 có ba 1 nghiệm phân biệt, h x 1 có đúng ba nghiệm phân biệt , h x x2 1;3 có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác nhau đồng thời khác 1 và 1. Vì thế phương trình g ' x 0 có đúng 11 nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số y g x có 11 cực trị. Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên Đặt t x 3 3x 1 t ' 3x2 3 . Cho t ' 0 x 1 . Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số g x f x3 3x 1 có 11 cực trị. 2.3. Tìm số nghiệm của phương trình Câu 1. (THPTQG 2019 – 2020 – mã 106) Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 f x2 4x m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; . A. 16 . B. 19 . C. 20 . D. 17 . 12
11. Lời giải Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống m Phương trình đã cho tương đương với: f x2 4x . 4 Xét hàm số y g x f x2 4x 2 2 Ta có: y g x f x 4x 2x 4 f x 4x 2x 4 0 y 0 2x 4 f x2 4x 0 f x2 4x 0 x 2 2x 4 0 2x 4 0 x 2 2 0 x 2 x2 4x 4 x2 4x 4 0 x 2 2 2 2 x 2 2 . x 4x 2 x 4x 2 0 x 0 x 0 2 2 x 4 x 4x 0 x 4x 0 x 4 Ta có: g 2 2 f 2 2 , g 0 f 0 3 , g 2 f 4 2 , g 4 f 0 3 Bảng biến thiên m Để phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thì đường thẳng y phải cắt 4 đồ thị hàm số y g x tại ít nhất 3 điểm. Từ bảng biến thiên suy ra: m 3 2 12 m 8 . 4 Vậy m 11; 10;...; 1;0;1;...;8, suy ra có 20 số nguyên m cần tìm. Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên 13