Báo cáo Biện pháp Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai giải quyết một số bài Toán Lớp 10

Nội dung tài liệu: Báo cáo Biện pháp Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai giải quyết một số bài Toán Lớp 10

1. Nghiên cứu sách giáo khoa cơ bản và nâng cao, sách bài tập, sách tham khảo, các báo, tạp chí, các trang toán trên mạng về vấn đề nghiên cứu. Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp. Tìm hiểu thực trạng học sinh, trình độ nhận thức về vấn đề này ở từng lớp học. Tổng kết đúc rút kinh nghiệm cả về mặt phương pháp và kỹ năng giải toán trong các đề thi. 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Nghiên cứu đồ thị hàm số bậc hai và các kiến thức liên quan như các phép biến đổi đồ thị, các cách giải phương trình vô tỉ, trị tuyệt đối phù hợp với kiến thức lớp 10. Thời gian nghiên cứu: Biện pháp được thực hiện trong năm học 2021 – 2022. B. NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận. 1.1. Hàm số bậc hai: y ax2 bx c a 0 Đồ thị của hàm số y ax2 bx c a 0 là một đường parabol có đỉnh là b b I ; , có trục đối xứng là đường thẳng x . Parabol này quay bề lõm 2a4a 2a lên trên nếu a 0, xuống dưới nếu a 0. y y 4a x b x O b 2a 2a O 4a a 0 a 0 1.2. Sự tương giao. Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C1), đường thẳng d: y m . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C1): f (x) m Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của d và (C1). 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu Khi giải các bài toán lớp 10, học sinh sẽ gặp một số bài toán khó hình dung hoặc phải xét nhiều trường hợp nhất là những bài toán có chứa tham số dẫn tới nhiều học sinh có cảm giác “sợ” và không muốn làm các bài tập này. 3
2. Trong khi đó nếu nhìn nhận theo hướng dùng đồ thị hàm số thì bài toán lại trở nên đơn giản hơn nhiều, và kết quả được suy ra trực tiếp từ việc quan sát đồ thị. Điều này sẽ làm cho học sinh cảm thấy bớt đi sự phức tạp và có hứng thú để giải quyết các bài toán. 3. Giải pháp thực hiện Từ thực tế trên tôi sẽ trình bày một số bài toán bằng cách sử dụng đồ thị trong khi giải theo các dạng: Phương trình, bất phương trình. Các bài tập được đưa ra sau mỗi phần học, từ bài hàm số bậc hai trở đi. Tất nhiên để làm những bài toán này thì học sinh cần phải được biết đến những kiến thức để kết hợp trong việc giải bài toán như giải phương trình vô tỉ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,... 3.1. Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai vào giải phương trình 3.1.1. Phương pháp chung: Để giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ax2 bx c m ta đưa về việc biện luận số giao điểm của đường thẳng y m và parabol (P) y ax2 bx c . Như vậy trong trường hợp tổng quát ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đưa phương trình ban đầu về dạng f (x) g(m) ( f (x) là hàm số bậc 2 hoặc hàm số có đồ thị suy ra từ hàm bậc hai) Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số f (x) Bước 3: Dựa vào đồ thị và yêu cầu bài toán để xét số giao điểm của đường thẳng y g(m) và đồ thị hàm số f (x) 3.1.2 Các ví dụ Các ví dụ sau đây đưa ra từ những ví dụ đơn giản đến phức tạp, bắt đầu từ phương trình bậc hai đến phương trình bậc cao, phương trình vô tỉ.Ta hãy bắt đầu làm quen với phương pháp này qua ví dụ 1. Ví dụ 1: Trong các số m thỏa mãn phương trình: x2 5x 6 m có hai nghiệm phân biệt, số nguyên dương lớn nhất thuộc khoảng nào dưới đây: A. ( 5;0) B. (1;7) C. (9;15) D. ( 10; 5) Hướng dẫn:Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của Parabol y x2 5x 6 và đường thẳng y m 4
3. y 0 x 49 Dựa vào đồ thị hàm số ta có: m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 4 Vậy số nguyên lớn nhất là 12. Chọn C Nhận xét: Ở bài toán này ta có thể chuyển vế đưa về phương trình bậc hai rồi dựa vào để tìm ra m. Ta sẽ thấy thấy tính hiệu quả cao hơn trong ví dụ sau đây 2 Ví dụ 2. Cho phương trình x 2x m 0. + Tìm m để phương trình có nghiệm dương A. m ( ; 1] B. m ( ;1) C. m ( 1; ) D. m [ 1; ) + Có đúng một nghiệm dương A. m ( ; 1] B. m [0; ) {-1} C. m ( ;1) D. m [0; ) + Có hai nghiệm dương phân biệt A. m ( ; 1] B. m ( 1;1) C. m ( 1;0) D. m [ 1; ) Hướng dẫn: x2 2x m 0 x2 2x m Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y m với Parabol y x2 2x y x 0 + Để phương trình có nghiệm dương thì đường thẳng y m cắt đồ thị ít nhất tại một điểm phía bên phải trục tung, dựa vào đồ thị ta thấy m 1thì phương trình có nghiệm dương. Chọn D 5
4. + Để phương trình có đúng một nghiệm dương thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm phía bên phải trục tung. Dựa vào đồ thị ta được m 0 hoặc m 1. Chọn B + Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt phía bên phải trục tung. Dựa vào đồ thị ta được 1 m 0 . Chọn C Nhận xét: Chúng ta thường giải bài toán trên bằng cách dựa vào , nhưng khi dựa vào đồ thị ta thấy việc này có thể giải các câu trắc nghiệm một cách nhanh chóng hơn khi không phải kết hợp nhiều điều kiện. Thực tế ví dụ này là tìm điều kiện để nghiệm thuộc (0; ) Ta xét ví dụ sau để thấy phương pháp này hiệu quả hơn so với việc giải thông thường khi cho nghiệm rơi vào khoảng bất kì. Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 6x 7 m 0 . Tìm m để phương trình: + Có nghiệm thuộc M= ( ;0)  (7; ) A. m ( ; 7] B. m (7; ) C. m ( 7; ) D. m [ 7; ) + Có đúng một nghiệm thuộc M A. m ( 7;7] B. m ( 7;0] C. m ( 7; ) D. m ( 7;0) + Có hai nghiệm phân biệt thuộc M A. m (0; ) B. m ( ; 7] C. m (7; ) D. m [ 7; ) Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình dưới dạng x 2 6x 7 m Khi đó số nghiệm trên tập A ( ;0)  (7; ) của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y m và Parabol (P) y x2 6x 7 y x + Để phương trình có nghiệm thuộc ( ;0) thì đường thẳng y m phải cắt (P) tại một điểm phía bên trái trục tung, dựa vào đồ thị ta được m 7 . Để phương trình có nghiệm thuộc (7; ) thì thì đường thẳng y m phải cắt (P) tại một điểm phía bên phải đường 6
5. thẳng x 7 , dựa vào đồ thị ta được m 0. Kết hợp hai khả năng ta được m 7 . Chọn C + Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc A ( ;0)  (7; ) thì 7 m 0 Chọn B + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc A ( ;0)  (7; ) thì m 0 Chọn A Tiếp theo ta sẽ xét một số phương trình quy về phương trình bậc hai: Trước tiên ta hãy đưa dâú giá trị tuyệt đối vào phương trình bậc hai Ví dụ 4. Tính tổng các giá trị nguyên của m để phương trình x 2 2x 3 m có bốn nghiệm phân biệt. A.5 B.6 C.7 D.8 Hướng dẫn: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y x 2 2x 3 và đường thẳng y m Trước hết ta vẽ đồ thị hàm số y x 2 2x 3 sau đó suy ra đồ thị hàm số(C) y x2 2x 3 y 0 x Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi 0 m 4do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 m 4 Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1,2,3. Tổng các số này là 6, chọn B. Nhận xét: Rõ ràng cách dùng đồ thị là thú vị hơn so với việc giải trực tiếp bài toán này khi phải chia theo các trường hợp. Ta hãy đưa căn thức vào phương trình bậc hai qua ví dụ sau: Ví dụ 5. Với m [a;b] thì phương trình sau có nghiệm. Khi đó a b bằng 2 (2x x)(4 x) 2 2x m 0(1) A. -14 B.4 C.-4 D.5 7
6. Hướng dẫn: ĐK 2 x 4 Đặt x2 2x 8 t 2 (x 1)2 9 t 2 t 2 9 (2 x)(4 x) t 0 t 3 t 0 t 0 t 0 Ta có x 2 2x t 2 8 . Khi đó (1) trở thành: 2t t2 8 m t 2 2t 8 m(2) Do đó để (1) có nghiệm 2 x 4 thì (2) có nghiệm t 0;3 Xét hàm số f (t) t 2 2t 8 trên [0;3]ta có đồ thị như sau y x Để phương trình (2) có nghiệm t 0;3 thì đường thẳng y m cắt đồ thị tại điểm thuộc đồ thị hàm số trên [0;3] Dựa vào đồ thị ta được -9 m -5 . Chọn C Sau đây ta sẽ xét ví dụ về phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai. Ví dụ 5. Cho phương trình (x 1)(x 1)(x 3)(x 5) m(1) . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt A. m ( 16;9] B. m ( 16;9) C. m ( 16; ) D. m [-16;9] Hướng dẫn: (x 1)(x 1)(x 3)(x 5) m (x 2 4x 5)(x2 4x 3) m Đặt t x 2 4x 5 t x2 4x 4 9 (x 2)2 9 9 Ta có phương trình: t2 8t m(2) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt t 9 . Xét hàm số y f (t) t 2 8t(t 9) 8
7. y x Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t 9 thì 16 m 9. Chọn B Mở rộng cho phương trình bậc cao có tham số qua ví dụ sau: Ví dụ 6. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x4 2x 3 2ax2 2ax a2 0 A. m (0; ) B. m ( ;0] C. m ( 1;0) D. m [ 1; ) Hướng dẫn: Nhìn vào phương trình có thể thấy vừa là phương trình bậc cao vừa có chứa tham số, nên trước hết ta cần tìm cách đưa về phương trình bậc hai. Coi a là ẩn, x là tham số, ta có: x4 2x3 2ax2 2ax a2 0 a 2 2(x2 x)a x 4 2x3 0(1) ' (x 2 x)2 (x 4 2x 3) x2 Khi đó (1) có nghiệm a x 2, a x2 2x .Do đó số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đường thẳng y a và hai parabol y x2, y x2 2x y 0 x Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có bốn nghiệm thì a 0 .Chọn A. Nhận xét: Với hai ví dụ ở trên học sinh có thể cảm thấy không còn “lo ngại” về việc phải tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc cao chứa tham số nữa. Như vậy là phương pháp này có thể được sử dụng cho nhiều loại phương trình khác nhau. Sau đây ta xét một số ví dụ về bất phương trình. 9
8. 3.2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai vào giải bất phương trình Phương pháp chung: Tương tự như phần phương trình ta có các bước sau: Bước 1: Đưa bất phương trình ban đầu về dạng f (x) g(m)( , , ) ( f (x) là hàm số bậc 2 hoặc hàm số có đồ thị suy ra từ hàm bậc hai) Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số f (x) Bước 3: Dựa vào đồ thị và căn cứ vào bất phương trình sau khi được biến đổi mà ta xem lấy phần parabol nằm phía trên hay phía dưới đường thẳng hay lấy tại điểm tiếp xúc từ đó tìm ra các khoảng nghiệm của bất phương trình. Ta hãy bắt đầu trong phần này bởi ví dụ 1 Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình x 2 2x 6m 0 có tập nghiệm là 1 1 A. m ) B. m ( C. m ( 1; ) D. m [ 1; ) ( ; ; ] 6 6 Với bài toán này chúng ta có thể dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để suy ra 2 ngay kết quả. Tuy nhiên ta hãy dựa vào đồ thị hàm số y x 2x và tịnh tiến đường thẳng y = -6m để nhìn nhận bài toán theo một cách trực quan hơn, mở ra một định hướng khác khi giải quyết những bài toán phức tạp hơn bài toán này. Hướng dẫn x2 2x 6m 0 x2 2x 6m 2 Xét đồ thị hàm số y x 2x và đường thẳng y 6m y 0 x Để bất phương trình có tập nghiệm là thì toàn bộ parabol phải nằm phía trên đường thẳng y 6m 1 Dựa vào đồ thị ta có 6m 1 m thì bất phương trình có tập nghiệm là 6 Chọn A 10
9. Ví dụ 2. Cho bất phương trình x 2 4x 3 m 0 . +Với giá trị nào của m thì bất phương trình vô nghiệm A. m ( ; 1] B. m (1; ) C. m ( 1;0) D. m [ 1; ) +Với giá trị nào của m thì bất phương trình có đúng một nghiệm A. m ( ; 1] B. m 1 C. m ( 1;0) D. m 1 +Có một giá trị của m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2 thì m thuộc khoảng nào dưới đây: A. m ( ; 1] B. m (1; ) C. m ( 1;0) D. m [ 1; ) Hướng dẫn: x 2 4x 3 m 0 x2 4x 3 m 2 Xét hàm số y x 4x 3 và đường thẳng y m y 0 x + Để bất phương trình vô nghiệm thì đường thẳng y m phải nằm phía dưới Parabol y x 2 4x 3 do đó m 1 m 1.Chọn B + Để bất phương trình có đúng một nghiệm thì đường thẳng y m phải cắt Parabol y x2 4x 3 tại một điểm, do đó m 1 m 1. Chọn D +Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng2, trước hết ta thấy bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn thì m 1 m 1, ta tịnh tiến đường thẳng y 1lên trên thì thấy rằng tập nghiệm được mở rộng dần dần, tại vị trí m=0 thì được tập nghiệm là ( 3; 1) có độ dài bằng 2, tiếp tục tịnh tiến thấy tập nghiệm mở rộng hơn. Vậy chỉ có m = 0 là thỏa mãn.Chọn D Chú ý: Như vậy với cách nhìn đồ thị ta có thể cho ra ngay đáp án phần iii mà không cần làm tự luận bằng các cách như là tìm m để phương trình x 2 4x 3 0 có hai nghiệm thỏa mãn trị tuyệt đối hiệu của chúng bằng 2 hoặc cách khác. Ta xét bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau: Ví dụ 4. Giá trị nguyên nhỏ nhất của m thuộc khoảng nào dưới đây để bất phương trình (4 x)(6 x) x2 2x m đúng x [-4;6] 11
10. A. m ( 2;20) B. m ( 15;0] C. m ( 21; 1) D. m [16; ) Hướng dẫn: ĐK: -4 x 6 Ta có (4 x)(6 x) x2 2x 24 . Đặt (4 x)(6 x) t t2 x 2 2x 24 x2 2x 24 t2 Khi đó bất phương trình đã cho trở thành t 24 t 2 m t 2 t 24 m(1) Mặt khác xét hàm số f (x) (4 x)(6 x) x2 2x 24, x [-4;6] y 0 x Từ đồ thị ta thấy 0 f (x) 25 0 t 5 Bất phương trình đã cho đúng x [-4;6] khi và chỉ khi bất phương trình(1) đúng với mọi t [0;5]. Xét g(t)=t 2 t 24,t [0;5] y 0 x Dựa vào đồ thị ta thấy để bất phương trình (1) đúng với mọi t [0;5]thì phần parabol trên đoạn [0;5] phải nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng y = m. Vậy m 6 .Chọn A a a Ví dụ 5. Giá trị lớn nhất của m có dạng (với là phân số tối giản)để bất phương b b trình: x+2 x m có nghiệm. Khi đó a b bằng A.4 B.5 C.6 D.7 Hướng dẫn: x+2 x m x+2 x m .Đặt x+2 t(t 0) x 2 t2 x t 2 2. Bất phương trình trở thành: t2 t 2 m . Xét f (t) t2 t 2,t 0; 12
11. y 0 x 9 Dựa vào đồ thị ta thấy để bất phương trình trên có nghiệm t 0; thì m Vậy 4 a 9 , do đó a b 5 . Chọn B b4 Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để bất phương trình 4 x2 | 2x m | có nghiệm âm A.9 B.8 C.5 D.4 m x2 2x 4 Hướng dẫn: Ta có 4 x2 | 2x m | m x2 2x 4 Vẽ (P): y x2 2x 4 (P’): y x 2 2x 4 y x 0 Hai parabol cắt nhau tại 2 điểm A(-2;-4) và B(2;4) Từ hệ phương trình ta cần tìm vị trí mà đường thẳng y m vừa nằm trên (P) vừa nằm dưới (P’). 13