Báo cáo Biện pháp Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn Đại số 8

Nội dung tài liệu: Báo cáo Biện pháp Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn Đại số 8

1. năng này. Vì không hướng dẫn được học sinh cách tư duy nên hầu hết các em có lực học trung bình khá và trung bình đều bỏ qua hoặc làm sai các câu có liên quan đến kĩ năng đó. Xuất phát từ thực tế trên tôi nhận thấy việc rèn cho học sinh đại trà kĩ năng vận dụng các quy tắc biến đổi bất đẳng thức vào bài tập là vô cùng quan trọng. Vì vậy tôi chọn giải pháp “Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn đại số 8” PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Thực trạng công tác dạy và học môn toán ở trường THCS Hoàng Hoa Thám. 1. Ưu điểm - Trường THCS Hoàng Hoa Thám là một trường có truyền thống dạy và học tốt trong huyện và môn toán là một môn thế mạnh. Điều đó được thể hiện qua kết quả của các kì khảo sát, kết quả ôn thi vào lớp 10 hàng năm. -Cơ sở vật chất hiện đại, ngày càng được đầu tư hoàn thiện hơn, thuận lợi cho việc ứng dụng CNTT vào dạy học. -Tổ chuyên môn thường xuyên tổ chức sinh hoạt chuyên đề nhằm đổi mới phương pháp và kỹ thuật dạy học. - Phụ huynh và học sinh nhận thức rõ tầm quan trọng của môn toán, do vậy môn học này được chú trọng ngay từ những năm các em mới vào học lớp 6. - Môn toán cũng là một môn học mà nhiều học sinh yêu thích, có nhiều ứng dụng trong đời sống và trong các môn khoa học khác. Nhiều em có ý thức học tập tốt, tích cực chủ động tham gia các hoạt động học tập nhằm tìm hiểu, khám phá và chiếm lĩnh kiến thức mới. 2. Hạn chế và nguyên nhân hạn chế. 2.1. Giáo viên * Hạn chế - Khi nhận phân công giảng dạy môn toán hai lớp 8A3, 8A6 năm học 2022 -2023, bản thân tôi vô cùng băn khoăn, lo lắng vì bản thân tôi không giảng dạy các em từ lớp 6, chưa hiểu rõ năng lực cũng như đặc điểm tâm lý của học sinh. - Bản thân tôi còn mơ hồ, chưa tổng hợp lại được các dạng bài và phương pháp để học sinh dễ hiểu bài và dễ dàng áp dụng vào bài tập. * Nguyên nhân của những hạn chế trên - Bản thân tôi chưa tìm được phương pháp hiệu quả để rèn kĩ năng cho học sinh . 3
2. 2.2 . Học sinh *Hạn chế - Ý thức tự giác, chủ động trong học tập không cao, học sinh lười học kiến thức lý thuyết, tiếp thu một cách thụ động chưa phát huy được khả năng tư duy, sáng tạo. - Nhiều học sinh không xác định được mục tiêu học tập, thiếu sự cố gắng vươn lên. * Nguyên nhân của những hạn chế trên - Trong các năm học trước các em phải học trực tiếp kết hợp với trực tuyến do dịch Covid -19 xảy ra. Khi học trực tuyến các em được sử dụng các thiết bị có kết nối mạng nên nhiều em sa vào các trò chơi điện tử, làm mất dần tính tự giác trong học tập. - Nhiều em bị hổng kiến thức, không có kiến thức nền tảng để tiếp thu kiến thức mới Từ những khó khăn của học sinh trong quá trình học tập, giải pháp này có thể là một giải pháp hữu ích tháo gỡ một phần những khó khăn đối với việc rèn kĩ năng cho học sinh đại trà, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình và yếu. Giải pháp của bản thân tôi sẽ cung cấp phương pháp rèn kĩ năng cùng bài tập minh họa dễ hiểu, thiết thực sẽ giúp các em học sinh lớp 8 tự tin và đạt kết quả cao khi làm bài thi. II. Biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn đại số 8: 1. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức lý thuyết liên quan: Để làm được các dạng bài tập về chứng minh bất đẳng thức trong phạm vi kiến thức đại trà, học sinh cần nắm vững các tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, tính chất bắc cầu. Khi dạy các nội dung lý thuyết này, tôi thường yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời rồi viết ra công thức tương ứng và nhìn vào công thức có thể phát biểu bằng lời tính chất đã áp dụng trong đó. Ví dụ: Khi dạy tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, sau khi đã hình thành xong tính chất : “Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho” cho các em, tôi yêu cầu các em phát 4
3. biểu tính chất bằng lời và minh họa tính chất đó bằng một trong các bất đẳng thức có tính tổng quát như: Nếu a>b thì a+c>b+c Nếu a<b thì a+c<b+c Nếu a b thì a+c b+c Nếu a b thì a+c b+c Tương tự như vậy, khi dạy tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, sau khi đã hình thành xong 2 tính chất : “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho” và “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho”, tôi yêu cầu các em phát biểu tính chất bằng lời và minh họa tính chất đó bằng hai trong các bất đẳng thức có tính tổng quát như: Nếu a>b thì ac>bc (với c>0) Nếu a 0) Nếu a b thì ac bc (với c>0) Nếu a b thì ac bc (với c>0) Nếu a>b thì ac<bc (với c<0) Nếu a bc (với c<0) Nếu a b thì ac bc (với c<0) Nếu a b thì ac bc (với c<0) Sau khi học sinh đã chuyển được các tính chất từ dạng phát biểu bằng lời sang công thức tổng quát, tôi cho học sinh phát biểu ngược lại bằng cách viết ra một công thức tổng quát bất kì nào đó và học sinh phát biểu bằng lời tính chất tương ứng thể hiện thông qua công thức đó. Ví dụ như, từ công thức “Nếu a b thì ac bc (với c<0)” học sinh sẽ phát biểu được tính chất: “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất 5
4. đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho” hoặc từ công thức “Nếu a b thì a+c b+c” học sinh sẽ phát biểu được tính chất “Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho”. Ngoài các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân thì các em còn cần nắm vững tính chất bắc cầu. Tính chất này các em đã được làm quen ở những lớp dưới nên việc tiếp nhận không gặp nhiều khó khăn. Nhờ sự vững vàng trong quá trình học lý thuyết các em sẽ có những bước biến đổi chắc chắn và làm chủ tư duy, kĩ năng của mình. 2. Biện pháp 2. Tổng hợp các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải cho từng dạng Dạng 1. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Ví dụ 1: Cho a>b. So sánh: a-5 và b-5 Lời giải: Ta có: a>b => a-5 >b-5 (cộng hai vế với cùng một số là -5) Vậy a-5 >b-5 với a>b Dạng bài tập này với đa số học sinh là dễ hiểu và dễ áp dụng, các em chỉ cần vận dụng trực tiếp tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng là có thể làm được ngay mà không gặp khó khăn. Giáo viên chỉ cần lưu ý học sinh: khi trừ hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số thì tính chất vẫn đúng vì trừ đi một số chính là cộng với số đối của số đó. Ví dụ 2: Cho a-3<b-3. So sánh a và b. Lời giải: Ta có: a-3<b-3 => a-3+3<b-3 +3(cộng hai vế với cùng một số là 3) =>a<b 6
5. Vậy a<b với a-3<b-3 Ở ví dụ này, cần nhấn mạnh cho học sinh mục đích của số cộng thêm và cách chọn ra số cộng thêm vào hai vế cho phù hợp, tránh việc học sinh không hiểu dẫn đến chọn sai số cần cộng thêm. Dạng 2. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Ví dụ 1. a) Cho a<b. So sánh 2a và 2b. b) Cho a<b. So sánh -2a và -2b. c) Cho 2a<2b. So sánh a và b. d) Cho -2a>-2b. So sánh a và b. Lời giải: a) Ta có: a<b => 2a<2b(Nhân hai vế với cùng 1 số là 2) Vậy 2a<2b với a<b b) Ta có: a<b => -2a>-2b(Nhân hai vế với cùng 1 số là -2) Vậy -2a>-2b với a<b c) Ta có: 2a<2b 1 1 1 => .2a .2b (Nhân hai vế với cùng 1 số là ) 2 2 2 => a < b Vậy 2a<2b với a < b d) Ta có: -2a>-2b 1 1 1 => .( 2a) .( 2b) (Nhân hai vế với cùng 1 số là ) 2 2 2 => a < b 7
6. Vậy a -2b Ở ví dụ cho dạng bài này, giáo viên nhấn mạnh việc nhân hai vế với cùng một số âm cần lưu ý đổi chiều bất đẳng thức. Đây là lỗi sai điển hình mà các em mắc phải khi chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình sau này. Để đơn giản và dễ hiểu cho học sinh, có thể hướng dẫn học sinh chia hai vế cho cùng một số (khác 0) vì phép chia cho một số chính là phép nhân với nghịch đảo của số đó. Cụ thể, ở ví dụ 1 phần c có thể hướng dẫn học sinh trình bày như sau : Ta có: 2a<2b 2a 2b => (Chia hai vế cho cùng 1 số là 2) 2 2 => a < b Vậy 2a<2b với a < b Trong quá trình dạy học tôi thấy việc hướng dẫn học sinh trình bày theo cách này học sinh bớt lúng túng hơn khi làm bài. Đặc biệt cần lưu ý các em cần tuân thủ theo đúng tính chất khi chia hai vế cho cùng một số dương hoặc cùng một số âm. Dạng 3. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh sử dụng phối hợp cả tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Dạng 3.1. Từ bất đăng thức đơn giản, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn. Ví dụ 1: a) Cho a b , hãy so sánh 5a 2016 và 5b 2016 . b) Cho a b , chứng minh: 2016 4a < 2016 4b. Lời giải: a) Ta có: a b 5a 5b 5a 2016 5b 2016 Vậy 5a 2016 5b 2016 với a b b) Ta có: a>b 8
7. 4a 4b 2016 4a 2016 4b Vậy 2016 4a 2016 4b với a>b Với dạng bài tập này, ngoài những lưu ý trong dạng bài tập 1 và 2 thì cần lưu ý thêm học sinh áp dụng tính chất nhân hai vế với cùng một số (khác 0) để làm xuất hiện tích trước rồi áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng sau. Đến dạng bài này, rất nhiều học sinh đã bị lúng túng nên giáo viên cần nhấn mạnh và yêu cầu học sinh nhắc lại để các em ghi nhớ khi làm bài. Dạng 3.2. Từ bất đăng thức phức tạp, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức đơn giản hoặc một bất đẳng thức phức tạp khác. Ví dụ 2. a) Cho5a 2016 5b 2016 , hãy so sánh a b b) Cho 5a 2016 5b 2016 , chứng minh: 4 2a 4 2b Lời giải: a) Ta có: 5a 2016 5b 2016 5a 2016 2016 5b 2016 2016 5a 5b 5a 5b 5 5 a b Vậy a b với 5a 2016 5b 2016 b) Ta có: 5a 2016 5b 2016 5a 2016 2016 5b 2016 2016 5a 5b 5a 5b 5 5 a b 9
8. 2a 2b 4 2a 4 2b Vậy 4 2a 4 2bvới 5a 2016 5b 2016 Với dạng bài tập này, cần lưu ý học sinh áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng trước, sau đó áp dụng tính chất nhân hai vế với cùng một số (khác 0) để sau và nhấn mạnh mục đích của từng bước làm. Dạng 4. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng phối hợp cả tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân và tính chất bắc cầu Ví dụ: Cho a b , hãy so sánh 2016 4a và 2017 4b. Lời giải: Ta có: a b 4a 4b 2016 4a 2016 4b mà 2016 4b 2017 4b nên 2016 4a 2017 4b Vậy 2016 4a 2017 4b với a b Với dạng toán này, đa số học sinh đại trà đều gặp khó khăn do nhầm lẫn cách làm với dạng 3.1. Vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh quan sát biểu thức cần so sánh trước khi làm để lựa chọn đúng phương pháp. Một vấn đề lớn trong dạng này là tìm biểu thức trung gian. Sau khi các em thực hiện so sánh để xuất hiện biểu thức tương tự dạng 3.1 thì cần quan sát lại biểu thức đầu bài yêu cầu so sánh, chứng minh để tìm đúng biểu thức trung gian. 3. Biện pháp 3. Rèn kĩ năng thông qua các dạng bài tập vận dụng Ngoài việc cung cấp đầy đủ cho học sinh kiến thức lý thuyết, giáo viên cần hệ thống các dạng bài tập liên quan để học sinh tự rèn kĩ năng chứng minh bất đẳng thức của mình. Dưới đây là một số dạng bài tập tôi đã sử dụng để rèn kĩ năng cho học sinh của tôi: 10
9. Trước tiên, tôi cung cấp cho học sinh dạng bài tập rèn kĩ năng với từng dạng bài cụ thể. Ví dụ như: *Dạng 1. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Bài tập: a) Cho a>b. So sánh: a+7 và b+7 b) Cho a+ 3<b+3. So sánh a và b. c) Cho a 5 b 5 . So sánh a 5 và b 5 d) c Cho a 15 b 15 . So sánh a 3 và b 3 *Dạng 2. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Bài tập: a) Cho a<b. So sánh 2a và 2b. b) Cho a<b. So sánh -2a và -2b. c) Cho 2a<2b. So sánh a và b. d) Cho -2a>-2b. So sánh a và b. *Dạng 3. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh sử dụng phối hợp cả tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. -Dạng 3.1. Từ bất đẳng thức đơn giản, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn. Bài tập: a) Cho a b , hãy so sánh 59a 213 và 59b 213. b) Cho a b , chứng minh: 206 7a < 206 7b. - Dạng 3.2. Từ bất đăng thức phức tạp, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức đơn giản hoặc một bất đẳng thức phức tạp khác. Bài tập: 11
10. a) Cho 5a 206 5b 206 , hãy so sánh a và b b) Cho 2022a 2023 2022b 2023, chứng minh: 4 2a 4 2b *Dạng 4. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng phối hợp cả tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân và tính chất bắc cầu. Bài tập: a) Cho a b , hãy so sánh 2016 4a và 2017 4b. b) Cho a b , hãy chứng minh: 2022a 2023 2022b 2024 c) Cho a b , hãy chứng minh: 2022a 2023 2022b 2023 Sau khi học sinh có kĩ năng vận dụng thành thạo từng dạng bài, tôi cung cấp cho học sinh bài tập tổng hợp để các em tự tìm phương pháp làm phù hợp. Bài tập: a) Cho a b , hãy so sánh: 12 a và 12 b . b) Cho a b , hãy so sánh: 5a 2016 và 5b 2016 . c) Cho a 4 b 4 , hãy so sánh: a 2016 và b 2016 . d) Cho a 3 b 3 , hãy so sánh: 5a 29 và 5b 29 . e) Cho a b , hãy so sánh: 15a 201 và 15b 200 . f) Cho a b , hãy so sánh: 3a 2 và 3b 2. g) Cho 2a 3 2b 3 , hãy so sánh: 52a 209 và 52b 209 . Biện pháp 4. Kiểm tra mức độ vận dụng của học sinh: Sau khi đã thực hiện các bước ở trên, tôi cho học sinh rèn kĩ năng thông qua bài kiểm tra có đầy đủ các dạng bài để biết các em có nắm được nội dung kiến thức hay không, có khả năng nhận biết và áp dụng phù hợp hay chưa. Dưới đây là một đề kiểm tra tôi dùng để kiểm tra kĩ năng của học sinh Đề bài: a) Cho a b , hãy so sánh: a 5 và b 5 (1đ) 12
11. b) Cho a b , hãy so sánh: 6a và 6b (1đ) c) Cho a b , hãy so sánh: 9a và 9b (1đ) d) Cho a b , hãy so sánh: 5a 2016 và 5b 2016 (1đ) e) Cho a 4 b 4 , hãy so sánh: a 2016 và b 2016 (1đ) f) Cho a 3 b 3 , hãy so sánh: 5a 29 và 5b 29 (1đ) g) Cho a b , hãy so sánh: 15a 20 và 15b 25 (1đ) h) Cho a b , hãy so sánh: 7a 4 và 7b 4 (1đ) i) Cho 5a 13 5b 13, hãy so sánh: 7a 29 và 7b 29 (1đ) k) Cho 3a 13 3b 13, hãy so sánh: 7a 29 và 7b 45 (1đ) Với những học sinh chưa thực hiện được, tôi giảng lại cho các em và giao thêm nhiều bài tập tương tự để các em hiểu rõ và áp dụng một cách thành thạo hơn. PHẦN C. MINH CHỨNG VỀ HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP Tổng số học Tổng số học sinh Tỉ lệ học sinh Thời điểm khảo sát sinh tham gia đạt điểm từ 5 trở đạt điểm từ 5 khảo sát lên trở lên Trước khi áp dụng gải pháp 39 23 59% Sau khi áp dụng giải pháp 72 56 77,8% Kết quả đạt được tuy chưa phải là cao nhưng cũng cho thấy giải pháp mà tôi áp dụng có hiệu quả. Năm học 2012-2023, tôi đã áp dụng giải pháp và đạt hiệu quả. Tôi sẽ tiếp tục áp dụng giải pháp này để rèn kĩ năng cho học sinh đại trà. Ngoài ra, tôi nhận thấy giải pháp này có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên khi dạy đối tượng học sinh đại trà. Tôi hi vọng giải pháp sẽ đem đến hiệu quả tốt góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của trường THCS Hoàng Hoa Thám nói riêng và chất lượng giáo dục của huyện Yên Thế nói chung. 13