Báo cáo Biện pháp Giải quyết bài toán quy tắc đếm bằng phương pháp lập sơ đồ

Nội dung tài liệu: Báo cáo Biện pháp Giải quyết bài toán quy tắc đếm bằng phương pháp lập sơ đồ

1. 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài: Đại số tổ hợp là một trong các phần mà học sinh thường dễ nhầm lẫn giữa các khái niệm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp dẫn đến các kết quả sai. Trong quá trình dạy học phần này tôi nghỉ mình phải có những bài giảng và phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, quan tâm đúng mức đến đối tượng giáo dục, dùng các phương pháp khác nhau tuỳ theo đối tượng học sinh để học sinh ngày càng yêu thích môn Toán đặc bịêt là phần đại số tổ hợp. Từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực của học sinh nhằm giúp học sinh xây dựng các kiến thức, kỹ năng tư duy tổng kết, hệ thống lại các kiến thức, thì việc sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng đặc biệt là phần Đại số tổ hợp sẽ giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, tư duy theo một sơ đồ cụ thể đối với từng bài toán. Nhằm mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện và hỗ trợ cho việc dạy và học các môn khác, Đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình lớp 11 và Đại số 10 SGK mới,áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống, về việc giải các bài toán về khoa học thực nghiệm. Sách giáo khoa, cũng như sách tham khảo chưa viết nhiều đến những bài toán này mà mới chỉ đưa ra một số bài tập bằng cách áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp . Thực tế dạng toán này cũng có nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi Trong khi đa số học sinh nói chung, học sinh THPT nói riêng không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ hầu hết các em đều cảm thấy khó khăn khi giải các bài toán này và cũng không biết kết quả mình tìm ra đúng hay sai. Để giúp học sinh nhìn nhận dễ dàng và nhận biết được phải sử dụng cách giải nào cho đúng thì tôi chọn đề tài hướng tới dạy cho học sinh “giải quyết bài toán quy tắc đếm bằng phương pháp lập sơ đồ” với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. 1.2. Mục đích nghiên cứu: Phương pháp lập sơ đồ trong giải toán tổ hợp để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán tổ hợp, từ đó giải các bài toán xác suất cũng dễ dàng hơn.Nhằm nâng cao chất lượng dạy học phần tổ hợp xác suất, giúp học sinh yêu thích môn Toán hơn. 1.3. Đối tượng nghiên cứu: Lập sơ đồ khi dạy phần tổ hợp và giải các bài toán tổ hợp. 1.4. Phương pháp nghiên cứu: Trong chuyên đề này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi sử dụng sơ đồ trong khi dạy phần quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Từ đó chia ra các cách tư duy lập sơ đồ để giải quyết các bài toán tổ hợp. 2. Nội dung chuyên đề: 2.1. Cơ sở lí luận của chuyên đề: 1
2. Sơ đồ giúp học sinh học tập tích cực, huy động tối đa tiềm năng của bộ não. Việc học sinh vẽ sơ đồ trong giải toán tổ hợp thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học học sinh. Sơ đồ công việc trong giải toán tổ hợp là công cụ chính liên kết giữa các dữ kiện đề bài và kết quả của bài toán. Sơ đồ tư duy giúp dạy học phong phú và được sử dụng hiệu quả hơn trong quá trình dạy học. Có thể sử dụng sơ đồ vào hỗ trợ dạy học kiến thức mới, cũng cố kiến thức sau mỗi tiết học, hệ thống hoá kiến thức sau mỗi chương .Đặc biệt trong phần Tổ hợp ta có thể sử dụng sơ đồ khi dạy bài “quy tắc đếm”, “hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” (SGK Đại Số và Giải Tích 11 và SGK lớp 10 mới) và đặc biệt có thể phân loại thành các hướng tư duy lập sơ đồ để giải quyết bài toán 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng chuyên đề: Khi chưa nghiên cứu áp dụng đề tài này tôi thấy phần lớn học sinh sau khi học bài “quy tắc đếm”, “hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” (SGK Đại Số và Giải Tích 11) khó phân biệt được cách sử dụng các kiến thức trên. Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các mối quan hệ của bài toán tổ hợp của các em học sinh còn hạn chế. Phần lớn học sinh khi gặp các bài toán tổ hợp kết quả các em làm ra mà chưa dám khẳng định kết quả mình làm ra là đúng. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 2.3.1.Sử dụng sơ đồ khi dạy kiến thức mới phần bài toán đếm: Để giúp học sinh học tốt, và làm được bài toán đếm thì trước hết cần giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản về các kiến thức tổ hợp. Cụ thể khi dạy bài “Quy tắc đếm” và bài “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (SGK Đại Số và Giải Tích 11) mục tiêu là: - Về kiến thức: Biết quy tắc cộng, quy tắc nhân; hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. - Về kỹ năng: Vận dụng được quy tắc cộng, quy tắc nhân để làm các bài toán. Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử. Dựa trên mục tiêu cần đạt được giáo viên có cách dạy cho phù hợp để học sinh nắm được kiến thức vận dụng để giải các bài toán đếm. Sau đây tôi sẽ đề xuất cách dạy học sinh bằng cách sử dụng sơ đồ khi dạy bài “quy tắc đếm” và bài “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (SGK Đại Số và Giải Tích 11). Trong đề tài này tôi có sử dụng một số kí hiệu khi vẽ sơ đồ như sau: Quan hệ giữa các trường hợp ngang hàng: Quan hệ giữa các bước ngang hàng: Quan hệ giữa bao hàm: a. Bài “quy tắc đếm” (SGK Đại Số và Giải Tích 11): - Quy tắc cộng: Hướng dẫn học sinh theo cách nhìn “công việc”: Một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án 1 có m cách thực hiện, phương án hai có n cách thực hiện. Khi đó công việc có thể được thực hiện theo m+n cách. 2
3. Khi dạy ta có thể lập sơ đồ như sau để học sinh dễ hiểu và ghi chép dễ dàng: Công việc Phương án 1: Phương án 2: có m cách có n cách Có m+n cách Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc cộng ra nhiều phương án. Tương tự như quy tắc cộng thì đối với quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ta cũng sử dụng sơ đồ như vậy trong quá trình dạy học.Các quy tắc này được sách giáo khoa trình bày khá rõ ràng. Học sinh có thể hiểu rõ hơn bằng cách sử dụng sơ đồ. Cụ thể như sau: - Quy tắc nhân: Công việc Công đoạn 1: Công đoạn 2: có m cách có n cách Có m.n cách thực hiện công việc Sau khi sử dụng sơ đồ để học sinh hiểu rõ quy tắc, giáo viên lấy ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể thông qua các ví dụ. Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5? Giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua sơ đồ từ đó học sinh rút ra cách giải, đáp số và tự trình bày lời giải của mình Sơ đồ của bài toán như sau: 3
4. Lập số abc Chọn số a Chọn số b Chọn số c Có 5 cách Có 4 cách Có 3 cách Có 5.4.3 = 60 số có thể lập được b. Bài “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (sgk Đại Số và Giải Tích 11) - Hoán vị: Tập hợp có n phần tử Sắp thứ tự n phần tử Có Pn=n! cách xếp - Tổ hợp: Tập hợp có n phần tử Chọn ra k trong n phần tử n! Có C k cách chọn n k!(n k)! Ví dụ: Một đội thanh niên tình nguyện có 12 người. Có bao nhiêu cách phân công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người. Phân tích: Chúng ta thấy để phân công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người thì cần thực hiện 3 bước. Bước 1: chọn đội thứ nhất, bước 2: chọn đội thứ 2 và còn lại đội thứ 3 Sơ đồ của bài toán như sau 4
5. Phân công Chọn 4 trong Chọn 4 trong 8 Chọn 4 người công tác 12 người người còn lại còn lại 4 4 4 Có C12 cách Có C8 cách Có C4 cách 4 4 4 Có C12 .C8 .C4 = 34650 cách phân công - Chỉnh hợp: Tập hợp có Chọn k phần tử Sắp thứ tự k phần tử n phần tử trong n phần tử đã chọn k Có Cn cách chọn Có Pk cách xếp k k Có An Cn .Pn cách thực hiện công việc Ví dụ: Một lớp học có 35 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 4 tổ trưởng cho 4 tổ? Biết rằng tất cả học sinh đều có khả năng và mỗi bạn chỉ nhận nhiều nhất một nhiệm vụ. Sơ đồ của bài toán như sau: 35 học sinh Chọn ra 6 trong 35 Sắp xếp nhiệm vụ trong lớp học sinh của lớp vào cho 6 học sinh đã ban cán sự chọn 6 Có A35 116867520 cách phân công Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau. Chúng dễ tương tự như nhau, các em học sinh chỉ cần nắm vững được những phương pháp tư duy hệ thống thì các em hoàn toàn có thể làm được các bài toán đếm. 5
6. Học sinh cần hiểu được bản chất thông qua những ví dụ đơn giản từ đó sẽ giúp các em làm được các bài toán trong những trường hợp khó và phức tạp hơn. 2.3.2.Sử dụng sơ đồ khi dạy phần bài tập tổ hợp: Để giải một bài toán đếm chúng ta cần phải thực hiện theo quy trình sau: “Tìm hiểu đề - Thiết kế công việc – Tính toán – Trình bày”. Trong 4 bước trên thì 3 bước đầu là ba bước không chính thức, có thể làm ra giấy nháp hoặc nếu thành thạo có thể nhẩm trong đầu. Tuy nhiên 3 bước này lại đặc biệt quan trọng vì từ đó ta có thể suy luận và trình bày lời giải một cách chính xác. Vì vậy trong đề tài này tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn học sinh thiết kế công việc bằng sơ đồ và tính toán để từ đó học sinh có thể trình bày và có lời giải chính xác, khoa học. a. Phương pháp đếm trực tiếp: Đây là hướng tư duy trong phần lớn các bài toán đếm, đặc điểm của phương pháp này là chúng ta chia nhỏ công việc cần thực hiện thành các phần nhỏ hơn để đếm. Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. Phân tích: Chúng ta thấy điều kiện chủ chốt của bài toán là “ số tự nhiên chẵn”. Như vậy thì chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn. Dẫn đến phải chọn d ngay từ bước đầu tiên. Sơ đồ của bài toán như sau: Lập số abcd d = 0 d khác 0 3 vị trí còn lại 3 có A6 cách Chọn d: 3 cách Chọn a: 5 cách 2 vị trí còn 2 lại có A5 3 2 Có A6 3.5.A5 420 số Lời giải Gọi số cần lập là abcd 3 TH1: d = 0 số cách chọn 3 chữ số còn lại là A6 6
7. TH2: d 0 khi đó có 3 cách chọn d. 5 cách chọn a và số cách chọn 2 chữ số còn 2 lại là A5 3 2 Vậy số các số cần tìm là: A6 3.5.A5 420 số. Qua ví dụ trên ta thấy sau khi lập sơ đồ thiết kế, tính toán đưa ra được đáp số chính xác thì việc trình bày lời giải là không khó. Các em học sinh cần lựa chọn từ ngữ diễn đạt để trình bày lời giải. Vì vậy ở các ví dụ sau tôi chỉ đưa ra cách phân tích, thiết kế, lập sơ đồ của bài toán, từ đó các em sẽ diễn đạt trình bày lời giải của bài toán Ví dụ 2: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2. Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài là “phải có mặt chữ số 1 và 2”. Do đó trước hết phải chọn vị trí cho chữ số 1 và 2. Tuy nhiên do chữ số hàng chục nghìn khác 0 nên việc 1 hoặc 2 rơi vào vị trí hàng chục nghìn sẽ ảnh hưởng tới bước xếp các chữ số 0,3,4,5,6 vào các vị trí còn lại. Sơ đồ của bài toán như sau: Lập số abcde a 1;2 a 1;2 Xếp chữ Hoán vị 2 Chọn 3 Xếp chữ Chọn Chọn 2 số còn lại chữ số chữ số số 1;2 a có 4 chữ số 3 2 2 trong tập trong tập còn lại A5 có A4 cách còn lại A4 1;2 1;2 cách 3 2 2 Có 2.4. A5 + A4 .4. A4 =1056 số Ví dụ 3: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và cả nữ, có nhà toán học lẫn nhà vật lý học. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác? Phân tích: Trước hết đoàn công tác cần có cả nam và nữ, sau lại có cả nhà toán học lẫn nhà vật lý học. Do đó số lượng nhà vật lý trong nhóm sẽ ảnh hưởng đến số cách chọn người nữ. Bởi vậy ta chia trường hợp theo số lượng nhà khoa học các ngành: 2 lý – 1 toán và 2 toán - 1 lý. Sơ đồ của bài toán như sau: 7
8. Chọn đoàn 2 lý , 1 toán 2 toán,1 lý Chọn 2 nhà Chọn 1 nữ Chọn 2 nữ toán Chọn 1 nữ toán vật lý toán học học,1 vật lý 1 nam toán, 1 lý 2 2 Có 3.C4 +C3 .4 5.3.4 =90 cách b. PP đếm phần bù: Cơ sở của phương pháp đếm là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp A . Trong phương pháp này tôi sử dụng kí hiệu này để biểu thị phương pháp đếm phần bù. Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? Sơ đồ của bài toán như sau: Lập số abcd a có thể bằng 0 a = 0 Chọn d 3 vị trí còn lại Chọn d: 2 vị trí còn 3 2 có 4 cách có A6 cách 3 cách lại có A5 3 2 Có 4. A6 - 3. A5 = 420 số 8
9. Phân tích: Đây là ví dụ 1 của phần phương pháp đếm trực tiếp. Để sử dụng phương pháp đếm phần bù, trước hết phân tích như sau. Các bước thiết kế công việc hoàn toàn tương tự như cách giải trên. Có thể thấy rõ điều khác căn bản của hai phương pháp đếm trên là thay vì tính số cách lập bằng phương pháp nhân thì ta tính bằng phép trừ. Ví dụ 2: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 123? Sơ đồ của bài toán như sau: Lập số abcde Số có 5 chữ số Số bắt đầu bởi 123 4 2 Chọn a: 8 cách 4 vị trí còn lại: A8 2 vị trí còn lại: A6 4 2 Có 8. A8 - A6 = 13410 số Ví dụ 3: Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có A và B, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a, Trong tổ phải có cả nam và nữ. b, Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa A và B không đồng thời có mặt trong tổ. Phân tích: Với ý a, để đếm trực tiếp số cách chọn tổ có cả nam và nữ thì ta phải xây dựng được một sơ đồ công việc để chọn một tổ có cả nam và nữ. chẳng hạn như: Bước1: chọn một bạn nam, bước 2: chọn một bạn nữ, bước 3: chọn 4 bạn còn lại. Cách chọn trên đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” tuy nhiên lại không thể dùng để đếm được vì hai cách chọn khác nhau lại cho cùng một đội. Vì vậy để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp cần đếm là các trường hợp “6 người toàn nam” và “6 người toàn nữ”. 9
10. Với ý b, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp đếm trực tiếp. Tuy nhiên cách sử dụng phần bù giúp tiết kiệm được tính toán. Sơ đồ của bài toán như sau: Với ý a: Chọn đội có nam và nữ Chọn 6 nam Chọn bất kỳ Chọn 6 nữ có 6 6 6 có C6 cách có C14 cách C8 cách 6 6 6 Có C14 C6 C8 2974 cách Với ý a: Chọn tổ công tác Chọn 6 người không Chọn 1 tổ đồng thời có A và B trưởng: 6 cách Chọn 6 người Chọn 6 người có cả 6 4 bất kỳ: C14 cách A và B: C12 cách 6 4 Có (C14 C12 ).6 15048cách c. Phương pháp lấy trước rồi xếp sau: Dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt .Trong những dạng toán này có những điều kiện mà ta phải chọn tập hợp đối tượng thoả 10
11. mãn một vài điều kiện trước rồi mới sắp xếp để đạt được kết quả sau. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? Phân tích: Điều kiện cuả bài toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”.Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” không có gì đáng chú ý. Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta không phải nghĩ đến trường hợp rắc rối khi số 0 đứng ở vị trí đầu. Điều kịên chủ chôt trong bài toán là: “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ rồi xếp vị trí cho các chữ số đó. Sơ đồ của bài toán là: Lập số abcd chọn 2 chữ số chẵn, 2 Hoán vị 4 chữ số đã chữ số lẻ và khác 0 chọn: có 4! cách chọn 2 chữ số chọn 2 chữ số 2 chẵn khác 0: lẻ: có C5 cách 2 có C4 cách 2 2 Có C4 .C5 .4! = 1440 số Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau mà trong mỗi số có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ ( các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 đều là số lẻ)? Phân tích: Điều kiện chủ chôt trong bài toán là: “ có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa 2 chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 4 chữ số lẻ, rồi ưu tiên xếp vị trí cho chữ số 0, chọn 2 số lẻ xếp trước và sau chữ số 0, rồi ta xếp vị trí cho 6 số còn lại. Sơ đồ của bài toán như sau: 11