Báo cáo Biện pháp Dạy học phát triển năng lực học sinh qua bài Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Nội dung tài liệu: Báo cáo Biện pháp Dạy học phát triển năng lực học sinh qua bài Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. then chốt của việc giải tốn ở trường THPT. Khái niệm tốn học này học sinh cũng đã được tiếp cận từ năm học lớp 7, nhưng đến đầu lớp 10 học sinh mới được học sâu hơn, rộng hơn và đầy đủ hơn. Chính vì vậy khái niệm này cũng đã gây khơng ít khĩ khăn cho học sinh khi mới bước chân vào trường THPT, tạo tâm lý bất ổn cho những học sinh cĩ khả năng tiếp nhận kiến thức hạn chế. Vì vậy trên cương vị của giáo viên đã giảng dạy nhiều năm tơi rút ra được kinh nghiệm đối với học sinh lớp 10 đĩ là hướng dẫn học sinh sử dụng trục số để giải các bài tốn về phép tốn tập hợp. Với kinh nghiệm này tơi tin rằng học sinh sẽ tiếp nhận một cách dễ dàng, tốn học sẽ trở thành đơn giản hơn rất nhiều. Gĩp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nĩi riêng và các bộ mơn khác nĩi chung. 1.2. Mục đích nghiên cứu -Làm rõ vấn đề mà học sinh cịn lúng túng và mắc nhiều sai lầm trong việc sử dụng cơng cụ tiến hành việc giải tốn. -Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng tốn tiếp theo. -Nâng cao chất lượng bộ mơn tốn theo từng chuyên đề khác nhau gĩp phần nâng cao chất lượng dạy học. 1.3. Đối tượng nghiên cứu -Tập hợp và các phép tốn tập hợp. -Học sinh lớp 10. 1.4. Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu về việc dạy và học Tốn ở truờng THPT theo từng chủ đề. -Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học. -Tìm hiểu qua phiếu thăm dị của học sinh. -Tìm hiểu qua đồng nghiệp. 2. NỘI DUNG CỦA BIỆN PHÁP 2.1 Cơ sở lý luận của biện pháp -Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh luơn trở thành nổi trăn trở đối với những giáo viên cĩ tâm với nghề. Làm sao cho giáo dục đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội trong việc đào tạo con người. Để thực hiện được những quan điểm chỉ đạo này cần vận dụng những tri thức khoa học giáo dục, trước hết là những quan điểm và PPGD tích cực. - Sự phát triển khơng ngừng của khoa học và cơng nghệ làm cho nội dung mơn học ngày càng gia tăng cả về chiều rộng và chiều sâu, xuất hiện mâu thuẫn với thời gian và điều kiện dạy học cụ thể (đội ngũ GV, cơ sở vật chất, quản lí chất lượng đào tạo ở trường PT ) 2.2 Thực trạng của vấn đề. Đối với học sinh 3
2. - Đối tượng học sinh lớp 10 là một đối tượng mới trên nhiều phương diện khác nhau, các em cịn nhiều bở ngỡ khi bước chân vào trường THPT. Lượng kiến thức nhiều cộng với phương pháp học khác so với THCS nên nhiều em lúc ban đầu cảm giác bị ngợp, hơi đuối so với năng lực của bản thân vì vậy dễ gây tâm lý bất an cho học sinh. -Tâm lý xả hơi sau một mùa thi cũng được thể hiện qua một số đối tượng học sinh nên khi tiếp nhận kiến thức mới đơi khi hời hợt dẫn đến hiệu quả khơng cao. Đối với giáo viên - Một số giáo viên chưa thật tích cực trong việc đổi mới cách truyền thụ trong dạy học, tâm lý ngại khai thác và đối phĩ vẫn cịn. -Cách dạy học truyền thống ăn sâu vào tư tưởng một số giáo viên, khiến chương học khơng được cải thiện là bao. Đối với mơi trường xung quanh -Tâm lý thích chơi nhiều hơn chi phối mạnh đến việc tiếp nhận kiến thức, làm cho mơn tốn đã khĩ lại càng thấy khĩ hơn. -Tâm lý đám đơng lười học vẫn tác động khơng nhỏ đến bộ phận học sinh yêu thích mơn tốn. 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện. 2.3.1 Giáo viên giới thiệu lại phần lý thuyết về tập hợp và phép tốn tập hợp a.Tập hợp Tập hợp là 1 khái niệm cơ bản của Tốn học. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ như: Tập hợp tất cả các học sinh lớp 10 của trường em, tập hợp các số nguyên tố Thơng thường mỗi tập hợp gồm các phần tử cĩ chung 1 hay 1 vài tính chất nào đĩ. Nếu a là phần tử của tập hợp X, ta viết a∈X. Nếu a khơng phải là phần tử của X, ta viết a∉X. Ta thường cho một tập hợp bằng hai cách sau đây + Liệt kê các phần tử của tập hợp + Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp b. Tập con và tập hợp bằng nhau - Tập con Tập A được gọi là tập con của tập B và kí hiệu là A⊂B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B A⊂B⇔(∀x,x∈A⇒x∈B) Từ định nghĩa tập con, dễ thấy cĩ tính chất bắc cầu sau: (A⊂B&B⊂C)⇒(A⊂C) Dễ thấy mỗi tập hợp là tập con của chính nĩ -Tập hợp bằng nhau Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau và ký hiệu A=B nếu mỗi phần tử 4
3. của A là một phần tử của B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của A. Từ định nghĩa này ta cĩ A=B⇔ (A⊂B) và (A⊂B) Hai tập hợp A và B khơng bằng nhau ( khác nhau ) được kí hiệu là :A≠B c, Biểu đồ Ven Các tập hợp cĩ thể được minh họa trực quan bằng hình vẽ nhờ biểu đồ Ven do nhà tốn học người Anh Giơn Ven lần đầu đưa ra vào năm 1981 Trong biểu đồ Ven, người ta dùng những hình giới hạn bởi 1 đường khép kín để biểu diễn tập hợp. Ví dụ 1:Chúng ta đã biết tập hợp số tự nhiên khác 0 là N∗, tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số hữu tỉ Q, và tập hợp số thực R Ta cĩ các mối quan hệ sau: N∗⊂N⊂Z⊂Q⊂R Sơ đồ Ven: d. Các tập con của tập R Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Tập số thực (- ;+ ) 0 Đoạn [a ; b] x R, a x b //////////// [ ]/////// a b Khoảng (a ; b ) x R, a < x < b ////////////( )///////// a b Khoảng (- ; a) x R, x < a )////////////////// a Khoảng(a ; + ) x R, a< x  ///////////////////( a Nửa khoảng [a ; b) x R, a x < b /////////[ )///// a b Nửa khoảng (a ; b] x R, a < x b ////////////( ] ///////// a b Nửa khoảng (- ; a] x R, x a ]///////////////////// a Nửa khoảng [a ;+ ) x R, a x  ///////////[ a 5
4. 2.3.2 Sử dụng trục số để tìm phép tốn tập hợp. Trước tiên giáo viên cần giới thiệu cho học sinh nắm vững phần lý thuyết các phép tốn về tập hợp từ đĩ mới nêu phương pháp thực hành. 1.Phép giao a.Định nghĩa: Phép giao: AB = x|x A và x B x A x AB x B b,Tính chất A  A=A A   =  A  B=B  A -Biểu diễn bằng sơ đồ Ven. A B c.Phương pháp tìm giao của hai hay nhiều tập hợp: +Vẽ trục số, sắp xếp đầu mút của các tập hợp thứ tự từ bé đến lớn. +Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (Dùng 1 kiểu gạch) +Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần khơng thuộc tập B (Dùng 1 kiểu gạch khác hoặc mầu khác ) +Đọc kết quả: phần khơng bị gạch (Phần trắng) là giao của hai tập hợp A và B d.Các VD VD1: Cho tập A=  1;5 , B= 3;1 . Tìm A I B GV hướng dẫn học sinh làm từng bước, học sinh cĩ thể chuẩn bị bút màu, phấn màu để vẽ. Cụ thể như sau: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút của tập A, B theo thứ tự tăng dần \\\\\\\(///////////////////////[ )\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)\\/\/\/\/\/\/\/\/\//// -3 -115 -Biểu diễn tập A=  1;5 , B= 3;1 . -Gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (gạch chéo mầu đỏ) 6
5. -Gạch bỏ phần khơng thuộc tập B (gạch chéo phần mầu xanh) -Đọc kết luận: Phần khơng bị gạch (phần trắng) là nửa khoảng  1;1 Vậy A I B  1;1 VD2: Cho tập A= 0; , B= ;4 , C= 2; 5 Tìm A  B C GV hướng dẫn học sinh làm từng bước, cụ thể như sau. -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút của tập A, B,C theo thứ tự tăng dần x ||||||||(///////////////////////[ ]||||||||||||||||||\||\|\||\|\|\||\|\|\||\|\||\|\|\||\|\||\|\|\||\|\|\||\|\||\|\|\||\|\||\|\|\||\|\||\||| -2 0 3 4 -Biểu diễn tập A= 0; , B= ;4 , C= 2;3 -Gạch bỏ phần khơng thuộc tập A(gạch chéo mầu đỏ) -Gạch bỏ phần khơng thuộc tập B (gạch chéo phần mầu xanh dương) -Gạch bỏ phần khơng thuộc tập C (gạch đứng phần mầu xanh lá cây) -Đọc kết luận: Phần khơng bị gạch (phần trắng) là đoạn 0;3 Vậy A  B  C  0;3 e. Chú ý Giáo viên yêu cầu học sinh phải chú ý một số thao tác sau: - Vẽ trục số và chia đều khoảng cách hợp lý. - Làm dứt điểm từng tập hợp và nên dùng các loại gạch khác nhau để phân biệt - Chú ý các đầu mút (học sinh rất dễ sai sĩt phần này ) 2: Phép hợp hai tập hợp a. Định nghĩa AB = x| x A hoặc x B x A x AB x B b,Tính chất A  A=A A  =A A  B= B  A Biểu diễn bằng sơ đồ Ven. B A 7
6. c.Phương pháp tìm hợp của hai hay nhiều tập hợp: +Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút của các tập hợp từ bé đến lớn. +Biểu diễn tập A, tơ đậm phần thuộc tập A +Biểu diễn tập B, tơ đậm phần thuộc tập B (cĩ thể cùng tơ 1 mầu ) +Đọc kết quả: phần bị tơ đậm là hợp của hai tập hợp. d. Các VD cụ thể: VD1: Cho tập A=  4; 0 , B= 2; 6 . Giáo viên hướng dẫn học sinh làm cụ thể như sau: Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút từ bé đến lớn [()) -4 -2 0 6 Biểu diễn tập A= 4; 0 tơ đậm tập A (màu đỏ) Biểu diễn tập B= 2; 6 tơ đậm tập B (màu đỏ) Đọc kết quả: Phần bị tơ mầu đậm là nửa khoảng  4; 6 . Vậy A  B  4; 6 VD2: Cho tập A=  1; , B= ;0 , C= 2; 3 Tìm A  B C Giáo viên hướng dẫn Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút từ bé đến lớn ([)) -2 -1 0 3 Biểu diễn tập A= 1; tơ đậm tập A (màu xanh) Biểu diễn tập B= ;0 tơ đậm tập B (màu xanh) Biểu diễn tập C= 2; 3 tơ đậm tập C (màu xanh) Đọc kết quả: Phần được tơ màu xanh là khoảng ; R . Vậy A B C R VD3: Cho tập A=  4; 0 , B= ; 2 , C= 5; Tìm A  B C [))( -4 -2 0 5 Tơ đậm tập A (màu tím) 8
7. Tơ đậm tập B (màu tím) Tơ đậm tập C (màu tím) Kết luận: Phần được tơ màu tím là hợp các tập hợp A  B  C ; 0  5; e, Chú ý Giáo viên yêu cầu học sinh phải chú ý một số thao tác sau: - Vẽ trên cùng 1trục số và chia đều khoảng cách hợp lý. - Làm dứt điểm từng tập hợp và cĩ thể dùng cùng một mầu (hoặc khác mầu) - Cĩ thể hợp của các tập là các tập rời rạc nhau và lưu ý khi viết kết quả - Chú ý các đầu mút khi đọc kết quả (học sinh rất dễ sai sĩt phần này ) - Làm trên bảng cĩ thể dùng bút mầu hoặc phấn mầu để phân biệt dễ hơn nhưng làm trong bài kiểm tra chỉ được dùng một loại mực (khơng phải mầu đỏ). 3: Hiệu hai tập hợp a; Định nghĩa : A\ B = x| x A và x B x A x A\B x B b;Tính chất A\  =A A\A=  A\B≠B\A B Biểu diễn bằng sơ đồ Ven. c; Phương pháp tìm hiệu của hai tập hợp A\ B: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn. -Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (Dùng 1 kiểu gạch) -Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (Dùng 1 kiểu gạch khác hoặc màu khác ) -Đọc kết quả: Phần khơng bị gạch(Phần trắng) là hiệu của hai tập hợp A\ B d;Các ví dụ VD1: Cho tập A=  4; 0 , B= ; 2 Tìm A \ B \\/\/\/\/\/\/\/\/\[\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\))////////////////////////////////////////// -4 -2 0 9
8. -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn. -Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (gạch màu xanh) -Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ) -Đọc kết quả: Phần khơng bị gạch là hiệu của A và B.Vậy A \ B  2; 0 VD2: Cho tập A= ;1 , B= 3;5 Tìm A \ B [\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/]////////////////////////////// -3 1 5 -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn. -Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (gạch màu đen) -Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ) -Đọc kết quả: Phần khơng bị gạch là hiệu của B và A.Vậy A \ B ; 3 4. Phép lấy phần bù a; Định nghĩa : Nếu A  E thì CEA = E\A = x ,x E và x A b;Tính chất Biểu diễn bằng sơ đồ Ven. E A c; Phương pháp tìm phần bù của B trong A -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn. -Biểu diễn tập A, gạch phần khơng thuộc A -Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B -Đọc kết quả: Phần khơng bị gạch(Phần trắng) là phần bù của B trong A d.Các ví dụ VD1: Cho tập A=  4; 0 , B= 2; 0 Tìm A \ B ////////[ (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)////////////////////////////////////////// -4 -2 0 -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút thứ tự từ bé đến lớn. 10
9. -Biểu diễn tập A, gạch bỏ phần khơng thuộc tập A (gạch màu xanh) -Biểu diễn tập B, gạch bỏ phần thuộc tập B (gạch màu đỏ) -Đọc kết quả: Phần khơng bị gạch là hiệu của A và B.Vậy A \ B  4; 2 5. Sử dụng trục số tìm nhiều phép tốn tập hợp. Trong thực tế giải tốn khơng chỉ mỗi việc tìm giao, hợp, hay hiệu của hai tập hợp mà học sinh sẽ đối mặt với nhiều phép tốn khác nhau trên cùng một bài tốn. Vì vậy giáo viên cần giới thiệu và hướng dẫn học sinh cách làm đối với dạng bài tập này .Từ đĩ nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo cũng như rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh. VD1: Cho tập A= ; 1 , B= 3; 2 C 1; , a; Tìm A  B  C b; Tìm A  B \ C c; Tìm A \ B  C d; Tìm A  B \ C Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải trên trục số như sau: a;Tìm A  B  C x A  B x A  B  C Phân tích: x C Ta cĩ thể tìm giao của A và B trước rồi sau đĩ lấy hợp với C sau. Nhưng nếu khơng biết biểu diễn trên một trục số sẽ lẫn lộn chỗ lấy và khơng lấy khiến học sinh lúng túng, nhất là khi các em chưa thành thạo trong kĩ năng này. Vậy các bước làm cụ thể như sau: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần -Biểu diễn tập C và tơ đậm tập C (màu đỏ) -Biểu diễn tập A và gạch phần khơng thuộc A(trừ những chỗ đã tơ đậm của tập C)- gạch chéo màu tím. -Biểu diễn tập B và gạch bỏ phần khơng thuộc B (trừ những chỗ đã tơ đậm của tập C) – gạch chéo màu đen. -Đọc kết quả: Là phần khơng bị gạch và phần tơ đậm của tập C ////////[ )\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\[] -3 -1 1 2 Dựa vào trục số trên ta cĩ ngay kết quả là A  B  C  3; 1 1; b; Tìm A  B \ C 11
10. x A  B Phân tích: x A  B \ C x C Vậy ta cĩ thể tìm hợp của A và B trước rồi sau đĩ trừ đi tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần -Biểu diễn tập A và tơ đậm tập A= ; 1 (màu cam) -Biểu diễn tập B và tơ đậm tập B=  3; 2 (màu cam) -Biểu diễn tập C và gạch bỏ tập C 1; (gạch chéo màu đen) -Đọc kết quả: Là phần tơ đậm khơng bị gạch. [ ) [//////////////]//////////////////////////// -3 -1 1 2 Dựa vào trục số trên ta cĩ ngay kết quả là A  B \ C ;1 c; Tìm A \ B  C x A \ B x A \ B  C Phân tích: x C Vậy ta cĩ thể tìm hiệu của A và B trước rồi sau đĩ hợp với tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần -Biểu diễn tập C và tơ đậm tập C 1; (màu cam) -Biểu diễn tập A và gạch bỏ phần khơng thuộc A= ; 1 (trừ phần thuộc tập C) – gạch chéo màu tím -Biểu diễn tập B và gạch bỏ tập B=  3; 2 (trừ phần thuộc tập C)- gạch chéo màu đen. -Đọc kết quả: Là phần tơ đậm và phần khơng bị gạch. [\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)\\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\[] -3 -1 1 2 Dựa vào trục số trên ta cĩ ngay kết quả là A \ B  C ; 3 1; d; Tìm A  B \ C x A  B Phân tích: x A  B \ C x C 12
11. Vậy ta cĩ thể tìm giao của A và B trước rồi sau đĩ trừ đi tập C sau. Vậy các bước làm cụ thể như sau: -Vẽ trục số, sắp xếp các đầu mút theo thứ tự tăng dần -Biểu diễn tập C  1; và gạch bỏ tập C 1; (gạch chéo màu đỏ) -Biểu diễn tập A ; 1 và gạch bỏ phần khơng thuộc A( gạch chéo màu đen) -Biểu diễn tập B  3; 2 và gạch bỏ phần khơng thuộc tập B (gạch đứng màu xanh) -Đọc kết quả: Là phần khơng bị gạch. |||||||||[ ) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\[\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\]|/|/||/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/|/|/||/|/||/|/|/||/\/\/ -3 -1 1 2 Dựa vào trục số trên ta cĩ ngay kết quả là A  B \ C  3; 1 Nhận xét: - Dựa vào trục số ta cĩ thể tiến hành nhiều phép tốn tập hợp cùng một lúc. Tất nhiên nhiều học sinh cĩ thể tách ra thành nhiều bước làm khác nhau nhưng sẽ vất vả hơn. Dựa trên việc phân tích hướng đi đúng, quan trọng là nắm vững phép tốn thì khơng cĩ bài nào là ta phải đầu hàng. -Phương pháp trên giáo viên thường chỉ hướng dẫn đối với học sinh khi mới tiếp cận kiến thức này và sau khi đã thành thạo rồi các em sẽ chẳng cần dùng đến trục số làm gì, tất cả các bước học sinh cĩ thể nhẩm tính trong đầu, học sinh cĩ thể chỉ đưa ra kết quả đúng. 2.3.3 Các ví dụ ứng dụng của phép tốn tập hợp Phép tốn tập hợp hầu như được tất các các mơn học áp dụng, nhất là trong tốn học phép tốn tập hợp cĩ mặt trong các bài tốn về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình....Sau đây giáo viên giới thiệu một số ví dụ để học sinh làm quen và nhận thức đúng đắn về tầm quan trọng của chương học này. 2 Ví dụ 1: Cho A=0;1; B a ;2 . Tìm điều kiện của a để A  B  Gv hướng dẫn học sinh làm như sau: Vẽ trục số: Biểu diễn tập A=0;1, gạch bỏ phần khơng thuộc A /////////////////[ ]//////////[//////////////]////////////////////////////// 0 A 1 a2 B 2 13